Estática Aplicada. Diagramas de Solicitaciones: Momento Flector Parte III

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¡Saludos y bienvenidos! A través de la presente entrada finalizamos el tema del momento flector. Pueden encontrar la Parte I y la Parte II en los siguientes enlaces:

Estática Aplicada. Diagramas de Solicitaciones: Momento flector Parte I

Estática Aplicada. Diagramas de Solicitaciones: Momento flector Parte II

Nos encontramos en este punto en esta serie de publicaciones dedicada a los diagramas de solicitaciones:

•Diagramas de fuerza axial (N).

•Diagramas de fuerza cortante (V).

•Diagramas de momento flector (Mf).

•Aplicaciones prácticas de los Diagramas de Solicitaciones.

•Metodología para elaborar los diagramas de solicitación ante cualquier sistema de cargas.

Posterior a esta publicación abordaremos aplicaciones importantes de los diagramas de solicitación, tanto a ejercicios en el ámbito de la Estática como algunos tópicos de importancia relacionados al ámbito de Estructuras en general.

Introducción

En la Parte I, abordamos el momento flector, el origen del término y su diferencia con el momento convencional. También vimos cómo obtener el diagrama de momentos a través de cortes en puntos del elemento y posterior uso de las ecuaciones de equilibrio estático.

Realizar cortes en diversos puntos del elemento se hacía necesario para cuando se presenta una configuración de cargas externas compleja. Es por ello que se hace necesario plantear la elaboración del diagrama de momentos a partir de las cargas externas y no de las condiciones internas puntuales.

En la Parte II, se observó de manera cualitativa cómo diferentes configuraciones de carga incidían sobre el diagrama de momento flector. Esto derivó en una manera simplificada de realizar el diagrama, simplemente sumando el área acumulada del diagrama de corte.

Esto último, demuestra que existen relaciones diferenciales-integrales entre las cargas externas y las solicitaciones, tal como veremos en este artículo. En la Parte II, se da un ejemplo donde el diagrama de corte se da mediante rectángulos, haciendo sencillo el cálculo de áreas. En la siguiente figura se extrae dicho proceso mediante una imagen animada anexa a dicho post:

Figura N°1. Fuente

Esta manera “simplificada” se hace poco práctica si el diagrama de corte presenta una configuración más intrincada, con variaciones lineales o formas parabólicas, dificultando el cálculo del área.

Es por ello que, en el presente artículo, se hará una ilustración de las relaciones diferenciales-integrales entre la fuerza cortante y el momento flector.

Relaciones diferenciales-integrales entre “V” y “Mf

Sea ”V” la fuerza de corte, existe una relación matemática entre esta solicitación y el momento flector ”Mf.

Veamos brevemente una demostración matemática, a través de un elemento diferencial, tal como se hizo en la Parte II de la publicación dedicada a la fuerza cortante.

Tenemos un elemento isostático cualquiera sometido a una carga distribuida que se rige bajo una función q(x):

Figura N°2. Fuente

Podemos suponer que se trata de una viga simplemente apoyada, que tiene solo dos reacciones verticales en los extremos donde se apoya. Lo que nos interesa es analizar un elemento diferencial cualquiera, tal como se detalla en la Fig. N°3:

Figura N°3: no se ha representado la fuerza axial interna, puesto que carece de importancia en este post.

En dicho elemento diferencial, se pueden apreciar las solicitaciones que aparecen en cada extremo, producto del corte realizado a ambos lados. En el extremo derecho, las solicitaciones de corte y momento flector han aumentado una cantidad diferencial “dV” y “dMf” respectivamente.

Realizaremos una sumatoria de momentos en cualquiera de los extremos del elemento diferencial:

Simplificando y finalmente integrando, llegamos a la siguiente expresión:

Podemos observar que “dx” al ser una cantidad de magnitud muy pequeña, al elevarse al cuadrado se anula.

Esto demuestra lo dicho por Rodríguez (2003), donde la magnitud del momento flector es igual al área de representada por el diagrama de las fuerzas cortantes. También le da base a la manera simplificada de elaborar el diagrama utilizada en la parte anterior.

El proceso de integrar la fuerza de corte, implica hallar la ecuación que define el diagrama de dicha solicitación. Ya vimos en publicaciones anteriores que esto parte por caracterizar matemáticamente a función que define a las cargas externas “q(x)”:

Finalmente, producto del proceso de integración, llegaremos a obtener una constante “C”. Dicha constante se refiere simplemente al valor inicial del momento flector en el intervalo de interés:

Más adelante, aplicaremos estas ecuaciones en ejemplos prácticos, para así entender como entran en juego estos “intervalos”.

Ejemplos prácticos

N°1: ausencia de cargas distribuidas, una carga puntual, dos intervalos

Tomemos el ejemplo abordado en las Partes I y II de esta publicación. Tenemos una viga simplemente apoyada, con una carga puntual de 6000 kgf dirigida hacia abajo.

Figura N°4

Realizaremos el procedimiento para hallar su diagrama de corte: primero hallamos la discretización matemática de sus cargas externas, y luego mediante integración, hallamos la ecuación que define al diagrama de fuerzas cortantes. Esto se ilustra en la siguiente figura:

Figura N°5

Podemos observar que no existen cargas distribuidas, sin embargo, existe una carga puntual en dirección “V”. Esto nos genera una discontinuidad en los diagramas de corte y momento flector.

Las discontinuidades nos dividen al elemento (barra) en intervalos o tramos.

El diagrama de corte consta simplemente de dos líneas horizontales, generadas por las reacciones verticales en los apoyos, donde la carga externa genera un salto vertical en el diagrama. Como podemos notar, la ecuación que define la fuerza cortante no es la misma en ambos tramos.

Lo que haremos será integrar la ecuación de V(x) para ambos tramos, teniendo en consideración que en cada tramo/intervalo se “reinicia” el eje “x”. Esto quiere decir, que cada tramo tendrá su valor inicial propio, es decir, un valor de V(0)=Vi.

Producto de la integración, obtenemos lo siguiente:

Figura N°6

El valor inicial del primer tramo es 0 sencillamente porque el momento es nulo en el vínculo de apoyo (articulación fija a tierra). En el segundo tramo, el valor inicial es dado por el valor final del tramo anterior.

De esta manera, hemos demostrado matemáticamente que, ante la ausencia de cargas distribuidas, el diagrama de momentos será lineal, y que además la carga puntual generó un cambio de pendiente en la ecuación.

N°2: carga distribuida uniforme

Tomaremos también el ejemplo abordado en las Partes I y II de esta publicación (Fig. N°7):

Figura N°7

En este caso, la carga distribuida es continua a lo largo de todo el elemento y no presenta variaciones abruptas, así no habrá discontinuidades ya que tenemos un solo intervalo.

En la siguiente imagen, se han desarrollado los diagramas de corte y momento con las ecuaciones respectivas.

Figura N°8

Hemos llegado a la misma ecuación que la obtenida en la Parte I de esta publicación. Se demostró matemáticamente, el porqué de la forma parabólica.

Esta manera de abordar el diagrama, resulta ser más práctica y efectiva que realizar cortes y aplicar las ecuaciones de equilibrio estático. Nos simplifica el proceso de tener que analizar internamente al elemento, puesto que podemos caracterizar sus diagramas solo a partir de sus reacciones y cargas externas.

Puntos notables: valores máximos y mínimos

Podemos aprovechar este ejemplo para ilustrar otro principio de los diagramas de solicitaciones, se trata de los valores máximos y mínimos. En este ejemplo, podemos observar una cosa: el valor máximo del momento, coincide con el punto donde el valor de la fuerza de corte es nulo (V=0).

Esto no sucede por casualidad, tiene su demostración basada en el cálculo.

La obtención de algunos puntos notables (valores máximos y mínimos) de funciones cuadráticas, se da por la derivada de dicha función igualada a cero. Si queremos hallar el valor máximo del momento, debemos derivar la función que define su diagrama e igualarla a cero.

¿Cuál es la derivada de Mf(x)? simplemente sería realizar el proceso contrario, obteniendo lo siguiente:

Esto nos indica que la posición de los puntos máximos podemos obtenerla igualando V(x) a cero:

En este caso, hemos obtenido que el valor de x donde el valor del momento flector es máximo se da justo en la mitad. Este resultado se debe a la geometría del sistema y de la carga, donde existe simetría.

Además, se ha demostrado matemáticamente otro principio ya señalado en la Parte II de esta publicación: el diagrama de momento nunca será una línea horizontal, a menos que la fuerza de corte sea nula. El punto máximo de la parábola posee una pendiente nula, es decir, su tangente es una línea horizontal.

N°3: discontinuidades y saltos

Este es un ejemplo nuevo. Se trata de una viga simplemente apoyada, sometida a dos cargas distribuidas uniformes de distinta magnitud y un momento externo:

Figura N°9

Tal como se observa en la Fig. N°9, esta configuración del sistema de cargas nos genera 3 intervalos o tramos.

Luego de encontrar las ecuaciones de q(x), V(x) y M(x) para cada tramo, se obtienen los siguientes diagramas:

Figura N°10

Tal como se observa, la carga distribuida presenta una discontinuidad en su magnitud, creando un nuevo intervalo. A su vez, el momento externo genera otra discontinuidad, solo que, en este caso, sin efecto alguno en el diagrama de corte, sino que genera un salto en el diagrama de momentos flectores.

N°4: viga en “voladizo”.

Quiero finalizar esta publicación con un ejemplo diferente. Esta vez, tenemos unas condiciones de apoyo distintas, en el extremo izquierdo de la barra existe un empotramiento, es decir, restricción total de desplazamiento y rotación en dicho punto. El extremo derecho está libre.

El sistema de carga externo, consta de una carga distribuida uniforme en toda la longitud y una fuerza puntual en el extremo derecho.

Figura N°11

El extremo derecho está libre de restricciones, por lo tanto, no existen reacciones externas allí. En cambio, el extremo izquierdo concentra todas las reacciones, tanto fuerzas como momentos. Esto genera que el diagrama de momentos empiece con un valor dado, en lugar de empezar de cero como en los casos anteriores, debido al vínculo de apoyo.

Cabe destacar que el diagrama de corte no finaliza en 0 sino en el valor de la carga puntual existente. Además, el diagrama de momento si finaliza en un valor nulo, ya que no existe momento externo en el extremo.

Aportes de esta publicación

Mediante la presente publicación se provee material útil desde el punto de vista académico en Estática Aplicada. Se proporciona una guía para la elaboración efectiva de los diagramas de momento flector, mediante una metodología enfocada en la función matemática de las cargas externas.

Esto representa una fuente de información única en la Web ya que los procedimientos explicados en las fuentes existentes no abordan en profundidad ciertos procedimientos intermedios. Logrando comprender estos procesos intermedios se da paso a un entendimiento más amplio y general, y con ello un mayor alcance.

Referencias Bibliográficas

[1]Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (p. 112-123).Fuente

Material recomendado

Cálculo de reacciones internas (solicitaciones) mediante el Principio del Trabajo Virtual para Cuerpos Rígidos

Las Ecuaciones de Equilibrio Estático y algunas aplicaciones en la Ingeniería Civil

Estática Aplicada. Diagramas de Solicitaciones: Fuerza Cortante Parte I

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El desarrollo de las funciones es muy útil porque te permite evaluar en cualquier punto el valor de cortante o momento. Recuerdo los ejercicios de resistencia de materiales donde aplicaba la ecuación diferencial de la elástica de una viga para calcular su deformación, allí era necesario determinar funciones para el momento. Normalmente acostumbro a obtener primero la ecuación para el momento y a partir de su derivada llego a la de corte. Excelente material compañero @acont, su lectura me permitió refrescar y recordar muchos conceptos interesantes! Gracias por compartir estos conocimientos, de gran utilidad para profesionales y estudiantes de Ingeniería Civil. Saludos!!!

También vi algo similar en Resistencia de Materiales, se integraba dos veces la ecuación de momento y luego se dividía entre la rigidez para obtener la elástica de la viga, lo combinábamos con el Teorema de Mohr si no me equivoco.

El uso de las derivadas e integrales en estos diagramas es muy útil, nunca lo había realizado así como mencionas en estática (sistemas isosáticos), en cambio si cuando son sistemas hiperestáticos y se hallan los diagramas de momento directamente.

Saludos colega @eliaschess333, gracias por visitar!

Excelente material @acont, tu material es muy explicito y puede ser utilizado como guía metodológica para ser replicado por otras disciplinas, delimitando el uso de la estadística.

Saludos compañero @madridbg, gracias por pasar a visitar y comentar. Además de ser una guía para el área de la Estática, también puede ser una referencia para que otros compartan sus conocimientos de alguna materia.

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