La paradoja de Skolem

in GEMS6 months ago


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El artículo de Ernst Zermelo publicado en el año de 1908, donde propuso sus axiomas para la teoría de conjuntos, comienza con las siguientes palabras:


La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas cuya tarea es investigar matemáticamente las nociones fundamentales de número, orden, y función, tomándolas en su forma prístina y simple, y desarrollar así el fundamento lógico de toda la aritmética y el análisis; por lo tanto, constituye un componente indispensable de la ciencia de las matemáticas.



Esto se acerca a decir, pero no dice del todo, que la teoría de conjuntos es el único fundamento de toda la matemática.


Pero pronto se hicieron afirmaciones tan radicales.

En 1.910 Hermann Weyl propuso la opinión de que toda la matemática debería reducirse a la teoría axiomática de conjuntos.



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Cada noción en las otras ramas de las matemáticas debe ser definida explícitamente en términos de nociones previamente definidas.


Esta regresión se detiene en la teoría de conjuntos; en última instancia, todas las nociones matemáticas deben definirse en términos de teoría de conjuntos.




Así pues, la teoría de conjuntos nos parece hoy en día, en aspectos lógicos, el fundamento propio de la ciencia matemática, y tendremos que hacer un alto con la teoría de conjuntos si queremos formular principios de definición que no sólo sean suficientes para la geometría elemental, sino también para toda la matemática.


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Las nociones básicas de la teoría de conjuntos (conjunto y pertenencia) no pueden definirse explícitamente, pues ello conduciría a una regresión infinita.


Son las únicas nociones matemáticas que deben caracterizarse implícitamente mediante un sistema de axiomas.

Así, la teoría axiomática de conjuntos (más o menos en la línea propuesta por Zermelo) se convierte en el marco máximo de toda la matemática.



Aunque Weyl iba a cambiar de opinión, el punto de vista reduccionista que había expresado en 1.910 se estaba extendiendo rápidamente entre los matemáticos.


Fue este reduccionismo lo que Skolem se propuso criticar en 1.922. Su breve artículo, que fue un texto de un discurso pronunciado en un congreso de matemáticos escandinavos, contiene una lúcida presentación de una asombrosa riqueza de ideas y conocimientos lógicos y de teoría de conjuntos.



Pero, en opinión del propio Skolem, el resultado más importante de su ponencia es lo que llegó a conocerse como la Paradoja de Skolem.


Es el primero de los resultados limitativos fundamentales en lógica. En un comentario al final lo expresa de la siguiente manera:


Ya se lo había comunicado oralmente a F. Bernstein en Göttingen en el invierno de 1.915. Hay dos razones por las que no he publicado nada al respecto hasta ahora: en primer lugar, me he ocupado entretanto de otros problemas; en segundo lugar, creía que estaba tan claro que la axiomatización en términos de conjuntos no era un fundamento máximo satisfactorio de las matemáticas que los matemáticos, en su mayoría, no se preocuparían mucho por ello. Pero en los últimos tiempos he visto con sorpresa que muchos matemáticos piensan que estos axiomas de la teoría de conjuntos proporcionan el fundamento ideal para las matemáticas; por tanto, me pareció que había llegado el momento de publicar una crítica.



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Espero que les haya gustado este interesante tema acerca de la La paradoja de Skolem, no te pierdas las próximas publicaciones donde abordaré otros temas interesantes. Si deseas ampliar más te invito a leer las siguientes referencias:

  1. Zermelo, E. (1908). Studies on the foundations of set theory. I. Mathematische Annalen, 65(2), 261-281.
  2. Weyl, H. (1910). About the definitions of the basic mathematical terms. Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter, 7(1910), 93-95.


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A partir del trabajo de Cantor, se inicio un debate muy intenso en los fundamentos de la matemática. siendo las primeras dos décadas del siglo pasado donde se dieron avances muy importantes.

Por cierto como mencionas a Hermann Weyl, me gustaría señalar que él fue un matemático multifacético, sus libros son de gran claridad en la exposición y profundidad de ideas . Considero que todo matemático debiese leerlo.

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