Fraktionales differenzieren (Fraktionale Infinitesimalrechnung)

In diesen Beitrag haben wir uns die Definition der Gammafunktion angesehen und wie die Fakultät aus 0,5 lautet. Die Werte von halben Fakultäten wie 0,5!, 1,5!, 2,5! usw. werden benötigt, wenn man eine Funktion nur halb differenzieren möchte.
Eine halbe Ableitung von f(x) bedeutet, dass diese Funktion irgendwo zwischen der Ausgangsfunktion f(x) und der "vollen" Ableitung f'(x) liegt. Dies kann man grafisch besser veranschaulichen.

Als Beispiel dient die Polynomfunktion x^3-5x. Die Ableitung lautet 3x^2-5. Die halbe Ableitung liegt irgendwo dazwischen, hier der dicke rote Graph.
Um Funktionen fraktional zu differenzieren, wird die Gammafunktion verwendet, um halbe Fakultäten zu berechnen.

Damit man nicht immer das uneigentliche Integral berechnen muss, gibt es eine Formel für Potenzen. Und eine Polynomfunktion ist eine Summe aus Potenzen. Dies machen wir uns zu nutze.
Die Potenz wird einfach um 0,5 reduziert. Aus 3 wird 2,5. Dann muss noch die Koeffiziente berechnet werden. Dafür wird die Gammafunktion verwendet. Man dividiert Gamma(k+1) durch Gamma(k-mü+1), wobei k der Wert der Potenz, und mü der Wert ist der die Potenz reduziert.

Möchte man die Gammawerte exakt haben, dann berechnet man für Gamma(n+0,5): 2n! im Zähler und dividiert durch 4 hoch n mal n!. Anschließend wird die Wurzel aus pi einmultipliziert.
Dies wird mit jeder Potenz aus der Polynomfunktion gemacht, also einmal für x^3 und einmal für -5x.
Das Ergebnis ist eine Summe aus gebrochenen Potenzen und beschreibt die halbe Ableitung von f(x).

Es gibt schon verrückte Themen aus der Mathematik denen man im Alltag wohl nie begegnen wird. Aber das macht es ja so interessant.

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