Beweis der Teilbarkeit: a|b und a|c => a|bc und a|(b-c)

In dieser Aufgabe soll bewiesen werden, dass für alle a,b,c aus den ganzen Zahlen gilt, dass aus a teilt b und a teilt c folgt dass auch a das Produkt aus b und c, sowie a die Differenz aus b und c teilt. Ohje, was für ein Satz.

Zunächst definieren wir uns die benötigten Zahlen aus Z. Den Beweis habe ich in zwei Teilbeweise aufgeteilt. Wir gehen davon aus dass a teilt b und a teilt c. Mit der Teilbarkeitsdefinition muss eine Zahl t1 aus den ganzen Zahlen für a existieren, sodass b gilt. Analoges für t2. Existiert keine so eine Zahl t1 aus den ganzen Zahlen, so kann a nicht b teilen.

Jetzt setzen wir bc gleich (a * t1) * (a * t2). Das Ziel ist dass Produkt aus a mit irgendwas darzustellen was das Proukt aus b und c teilt. Da wir nur Produkte haben können wir das a einmal ausklammern und den rest als Klammer schreiben. Somit haben wir ein Produkt für a gefunden, nämlich t1 * a * t2 welches das Proukt aus b und c teilt.

Im zweiten Teilbeweis ist die Vorgehensweise genauso, nur dass wir zeigen müssen, dass das Proukt aus a mit irgendeiner Differenz (t1-t2) die Differenz b-c teilt. Hier mal ein Beispiel. 5|20 und 5|10 => 5|20 * 10. Es exisitieren also 5 * t1=10, nämlich 2 und 5 * t2=20, nämlich t2=4. t1 und t2 sind ganze Zahlen. Also gilt auch nach Beweis (1): 5 *(2 * 5 * 4)=20 * 10. Oder ein Gegenbeispiel wo kein t1 aus den ganzen Zahlen existiert. 5|7 und 5|10 => 5|7 * 10. Aus 5|7 folgt t1=7/5. t1 ist keine ganze Zahl, also ist 5 kein teiler von 7.

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