Wochen Wahnsinn - Die spinnen, die Pi-Fans

Dann kommen wir mal zum Wahnsinn überhaupt - π. Warum π? Richtig, weil heute (gestern) der Geburtstag von @vasupi ist.;) Für dein episches Geburtsdatum bekommst du 3.14159265 BEE - also fast π BEE. Aber viel wichtiger ist, dass wir heute Pi-Day haben. Und während die ganze Welt in übelster Feierlaune ist, wollen wir uns ein wenig mit der Faszination hinter π beschäftigten.

Neben der eulerschen Zahl e ist die Kreiszahl π eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik. Aber was ist dieses ominöse π? Gibt es π überhaupt? Ist π unendlich?

Ich würde sagen π gibt es und π ist nicht "unendlich". Teilt man den Kreisumfang eines beliebigen Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man immer die selbe Zahl und diese nennen wir π - eine Naturkonstante, wenn man so möchte. Das ist doch schon mal ein gutes Indiz für die Existenz von π, auch wenn das Konstruktivisten anders sehen würden. Lustigerweise ist auch in der Mathematik π nicht konstruierbar.

Konstruierbare Zahlen gehen auf Euklid zurück. Ihr kennt bestimmt die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Stellt euch vor ihr habt ein Lineal, was sich keine Längen merken kann und einen Zirkel, welcher für euch das Messen von Längen übernimmt.

Nun habt ihre eine Strecke. Wir sagen einfach mal, dass sie die Länge 1 hat. Diese Länge könnte ihr jetzt in die Zirkelspanne nehmen und einen Kreis, um den Endpunkt von eurer Strecke ziehen. Jetzt verlängert ihr eure Strecke bis ihr den Kreis schneidet und schon habt ihr die Länge 2. Das könnten wir jetzt immer weiter wiederholen. Sprich die natürlichen Zahlen {1, 2, 3, 4 ...} sind konstruierbar.

Vielleicht könnt ihr euch noch erinnern, dass man mit Zirkel und Lineal auch Strecken halbieren kann und ein Lot dabei fällt. So könnte man zum Beispiel 1/2 konstruieren. Man kann zeigen, dass alle rationalen Zahlen, d.h. alle Zahlen die sich als Bruch darstellen lassen, konstruieren kann.

Auch manche irrationale Zahlen lassen sich konstruieren, wie zum Beispiel die Wurzel aus 2. Dazu muss man nur ein Quadrat mit den Seitenlängen 1 konstruieren und dann eine Diagonale einzeichnen. Diese hat dann nach dem Satz des Pythagoras die Länge Wurzel aus 2.

π lässt sich allerdings nicht konstruieren. π ist wie e eine transzendente Zahl und jede transzendente Zahl lässt sich nicht konstruieren. Bei der Fragestellung nach der Konstruierbarkeit von π geht es übrigens auch darum, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist. D. h., dass man aus einem gegeben Quadrat nicht einen flächengleichen Kreis konstruieren kann.

Da der Flächeninhalt eines Quadrates a² ist, müsste man die Wurzel aus π konstruieren können. Da π aber nicht konstruierbar ist, ist auch die Wurzel aus π nicht konstruierbar. Warum dies so ist, darauf gehe ich hier nicht weiter ein. Dafür bräuchte man recht tiefe Algebra, welche auch erst im 19. Jahrhundert "entdeckt" wurde von Évariste Galois. Er hat leider einen sehr frühen Tod im Alter von 21 gehabt, welcher vermutlich durch sein Aktivismus während der französischen Revolution begründet ist.

Dank Galois wissen wir zumindest, dass π nicht konstruierbar ist. Aber ist π dennoch existent? π und die "normalen" Zahlen sind sogenannte reelle Zahlen. Diese könnte man sich als die Zahlen vorstellen, welche auf der Zahlengeraden liegen. Würde es Zahlen wie π, e oder die Wurzel aus 3 nicht geben, hätte die Zahlengerade "Löcher". Ich hoffe also, dass die Konstruktivisten falsch liegen. ;)

Die Irrationalität, Transzendenz und nicht Konstruierbarkeit von π ist nicht das einzige was Menschen an π fasziniert.

So haben viele Mathematiker ihre Freude gehabt Nachkommastellen von π zu berechnen, diese in der Pibel zu verewigen und ihren Geburtstag in π zu suchen. Mein Hive-Geburtstag ist zum Beispiel der 28 528. Stelle in π.

Archimedes war vermutlich einer der Ersten, die π versuchten annährend zu berechnen. Dazu schachtelte er Kreise mit regelmäßigen Vielecken ein. Zum Beispiel kann man ein Sechseck in den Kreis und um den Kreis legen. Dann berechnet man den Umfang von beiden Sechsecken und der Umfang des Kreises muss dann dazwischen liegen. Oder man nimmt eine Zwölfeck, 24-Eck usw..

Er soll es bis zu einem 96-Eck gebracht haben und somit ganze 2 Nachkommastellen genau gewesen sein. Mit Vielecken und anderen Methoden kam man immerhin im Laufe der Zeit auf 527 Nachkommastellen. Heute liegt der Rekord bei 62 831 853 071 796 Stellen. Dieser Rekord stammt von Schweizern. Sie haben 108 Tage zur Berechnung gebraucht und haben nur für das Speichern der Nachkommastellen mehrere Terrabyte Speicher benötigt. Der Rekord zuvor lag übrigens bei 50 Billionen stellen. Um die Ergebnisse vergleichen zu können, hat man die ersten 50 Billionen stellen sogar hashen müssen.

Nach ein Funfact: Es gibt auch Rekorde im Merken von Nachkommastellen. Hier liegt der aktuelle Rekord bei über 70 000 Stellen.

Und wenn euch das noch nicht genug war, dann können wir am 22.07 den π-Approximationstag feiern.