Límites en el Infinito

in #cervantes6 months ago (edited)

En los procesos desarrollados anteriormente en mi post sobre Límites Infinitos, se hizo mucho énfasis en observar el comportamiento de la Función Recíproca f(x)=1/x (con x diferente de 0) cuando x se aproximaba a 0 tanto por la izquierda como por la derecha; luego de la observación concluimos y afirmamos que cuando x se aproxima a 0 por la izquierda f(x) decrece ilimitadamente y que cuando f(x) se aproxima a 0 por la derecha f(x) crece ilimitadamente y, además, que a través de este proceso se permite identificar, en este caso, la asíntota vertical x=0.


Ahora analizaremos el proceso contrario, es decir, ¿qué pasa con la Función Recíproca cuando la variable x se aleja arbitrariamente de 0 tanto por la derecha como por la izquierda?; es decir, cuando x crece o decrece ilimitadamente.

w.jpg

Nos estamos refiriendo en este caso a:


a.jpg


Para analizar esta situación nos valdremos de dos tablas de valores con lo cual trataremos el caso.

Comencemos:

Tabla 1

Tomaremos valores x que se alejan de 0 por la izquierda:
x→-∞f(x)
-1-1
-10-0,1
-100-0,01
-1000-0,001
..
..
..
-10000000-0,0000001

En la columna de la izquierda vemos los valores de x decreciendo en un proceso continuo e infinito y en la columna derecha están los respectivos valores que toma la función recíproca f(x)=1/x para cada valor de x respectivamente. Estos resultados muestran como a medida que x decrece ilimitadamente, es decir, x se hace cada vez más infinitamente pequeño, en esa proporción, f(x)=1/x se hace más próxima a 0 por la izquierda; es importante mencionar que en este caso la recta y=0 es una asíntota horizontal.

Y escribimos:


CodeCogsEqn(1).gif

Bosquejemos la gráfica:

x tiende a menos infinito.jpg.png


Ahora analicemos el caso cuando x tiende a 0 por la derecha.


Tabla 2:
x→+∞f(x)
11
100,1
1000,01
10000,001
..
..
..
100000000,0000001

En este caso, la tabla es muy similar a la tabla 1, ya que solo cambian los signos negativos a positivos, y la conclusión es la siguiente: La función recíproca f(x) se hace cada vez más próxima a 0 a medida que x se aleja de 0 a través de valores positivos.

Y escribimos

CodeCogsEqn(4).gif


Bosquejemos el gráfico

x tiende a mas infinito1.jpg


Con la ayuda en línea de la Calculadora Gráfica Desmos, aquí tenemos la gráfica integrada.

gráfica función reciproca.jpg

Conclusiones


A través de estos límites se puede determinar el comportamiento de una función cuando los valores de x crecen o decrecen ilimitadamente, además identificar las rectas horizontales a la cual la gráfica de la función es asintótica, es decir, las rectas horizotales a la cual la función se acerca ilimitadamente pero sin llegar a tocarla, en este caso y=0

Créditos


Mis soportes ténicos para la realización de este post fueron: Paint, PawerPoint y Desmos Calculadora Gráfica
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