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Hi everyone, I know it's a long time since I make a post anymore, but don't worry, I'm alive, but very busy!!
From today I want to start making posts that deal with something very dear to me, my favorite passion, that is:
Math.

Today I'm going to treat a delicate subject, which in my opinion is not studied in depth at school, but is often liquidated with prepackaged phrases, which do nothing but create confusion in the student's mind and give the impression to the students that mathematics is just a set of rules that have fallen from the sky.

Picture of Gerd Altmann from Pixabay

I'm talking about the problem of dividing a number by zero, and the phrase that I think many of you have already heard is that "dividing a number by zero makes no sense" or "is meaningless".

Well we can start.
We all know what division is and how we make a division between 2 numbers, in simple words we have to count how many times a number enters in another or is in another one.

10 divided by 2 is equal to 5 because 2 enters exactly 5 times in 10.

If you want to know which is the result of 10 divided by 2, you could start at 10 and subtract 2 from it until you get to zero, and then count how many times you have to do this subtraction. The result will be just the number of times we performed the subtraction.
Now in this case, since 2 divides 10 (that is, the remainder is zero) at the end of the process we will reach zero. While in the case in which it was not divisible we will not reach zero and we must stop as soon as we arrive at the negative numbers, excluding the last subtraction from the count.

This is the process graphically:

Well now applying the same method, let's see what happens if we try to divide 10 by 0

As you can see this process has no end!!
We will always continue to get 10, and we will never ever reach zero, in fact we will never move from 10.

So we can say that the operation 10 divided by 0 has no solution.

Now we face the same problem in a more formal way.
First of all it is good to know that the inverse operation of division is multiplication.
In fact taking up the initial example we can write that:

because

Now we use the so-called demonstration by reducing to absurd method.
Suppose by contradiction that the result of the operation 10 divided by 0 exists.
We call this result "n".

Then as before it must be that:

And it is precisely here that the contradiction that makes our hypothesis fall comes out, that is the existence of this mysterious number n.
In fact, each number multiplied by zero give zero as a result!!

From these equalities it follows that 10 is equal to 0 which is absurd!!
So to be false is the fact that this number exists!!
We have therefore shown that there is no number that has the property of being the result of the operation 10 divided by 0 !!

As you can guess the number 10 itself has nothing special and so this little proof will be valid for any number, that is, dividing any number by zero never has a solution.... but are you really sure?
Are you sure it applies to all numbers? but really to all of them?

And if instead of 10 we choose 0 ?
What happens if we try to calculate 0 divided by 0 ?

This time the situation will be exactly the inverse of before !!
In fact, proceeding as above, suppose the existence of this number n such that:

Then:

And since each number multiplied by zero is equal to zero

Unlike before, from these series of equalities it results that 0 is equal to 0.
Which will always be true for any number we choose.
So in this case this operation has infinite solutions and not no solutions like before!!
Therefore n turns out to be indeterminate, that is it's not a particular number but can take any value!!

Conclusions

• There is nothing wrong with wanting to divide a number by 0.
• It's not at all true that this operation does not make sense.
• It's much better to say that if we divide a number different from 0 by 0 there is no solution, while if we divide 0 with itself there are infinite solutions.

And that's all my dear friends.
See you next time!!
Byeeeeeeeeeeeeeee !!!

[ITA]

Ciao a tutti, lo so è molto tempo che non faccio più un post, ma tranquilli sono vivo, ma molto indaffarato!!
Da oggi voglio iniziare a fare dei post che trattano di una cosa a me molto cara, la mia passione preferita, cioè :
La Matematica.

Oggi ho intenzione di trattare un argomento delicato, il quale a mio avviso non viene approfondito particolarmente a scuola, ma spesso viene liquidato con frasette preconfezionate, le quali non fanno altro che creare confusione nella testa dello studente e danno l'impressione a quest'ultimo che la matematica sia solo un insieme di regole cadute giù dal cielo.

Foto di Gerd Altmann da Pixabay

Sto parlando del problema del dividere un numero per zero, e la frasetta che penso molti di voi hanno già sentito è che "dividere per zero un numero non ha senso" o "è privo di senso".

Bene possiamo partire.
Sappiamo tutti cosa sia la divisione e come si fa una divisione tra 2 numeri, in parole semplici si va a vedere quante volte un numero entra in un altro o sta in un altro.

10 diviso 2 fa 5 perchè il 2 ci sta 5 volte esatte nel 10.

Volendo per sapere quanto fa 10 diviso 2, si potrebbe partire dal 10 e sottrarre 2 a quest'ultimo finchè non si arriva a zero, e poi contare quante volte si è dovuto fare questa sottrazione. Il risultato sarà proprio il numero di volte che abbiamo effettuato la sottrazione.
Ora in questo caso, siccome 2 divide 10 (cioè il resto è zero) alla fine del processo arriveremo a zero. Mentre nel caso in cui non fosse divisibile non arriveremo a zero e ci dobbiamo fermare non appena arriviamo ai numeri negativi, escludendo l'ultima sottrazione dal conteggio.

Graficamente il processo è questo:

Bene ora applicando lo stesso metodo, vediamo cosa accade se proviamo a dividere 10 per 0

Come potete vedere questo processo non ha fine!!
Continueremo sempre ad ottenere 10, e mai e poi mai arriveremo a zero, infatti non ci muoveremo mai dal 10.

Quindi possiamo dire che l'operazione 10 diviso 0 non ha soluzione.

Ora affrontiamo lo stesso problema in un modo un pò più formale.
Per prima cosa è bene sapere che l'operazione inversa della divisione è la moltiplicazione.
Infatti riprendendo l'esempio iniziale possiamo scrivere che:

perchè

Adesso utilizziamo il cosiddetto metodo della dimostrazione per assurdo.
Supponiamo per assurdo che esista il risultato dell'operazione 10 diviso 0.
Chiamiamo tale risultato "n".

Allora come prima dovrà essere che:

Ed è proprio qui che viene fuori la contraddizione che fa cadere la nostra ipotesi, cioè l'esistenza di questo misterioso numero n.
Infatti ogni numero moltiplicato per zero dà come risultato zero!!

Da queste uguaglianze segue che 10 è uguale a 0 il che è assurdo!!
Quindi ad essere falso è il fatto stesso che tale numero esista!!
Abbiamo perciò dimostrato che non esiste alcun numero che abbia la propietà di essere il risultato dell'operazione 10 diviso 0 !!

Come potete bene intuire il numero 10 in se non ha nulla di speciale e quindi questa piccola dimostrazione sarà valida per qualsiasi numero, cioè dividere qualsiasi numero per zero non ha mai soluzione....ma ne siete proprio sicuri?
Siete sicuri che valga per tutti i numeri? ma proprio tutti tutti?

E se invece di 10 scegliamo proprio 0 ?
Cosa accade se facciamo 0 diviso 0 ?

Questa volta la situazione sarà esattamente inversa a prima!!
Infatti procedendo come sopra, supponiamo l'esistenza di questo numero n tale che:

Allora:

Ed essendo che ogni numero moltiplicato per zero fa zero

A differenza di prima, da queste serie di uguaglianze risulta che 0 è uguale a 0.
Il che sarà sempre vero per qualsiasi numero n noi scegliamo.
Quindi in questo caso questa operazione ha infinite soluzioni e non nessuna come prima!!
Perciò n risulta essere indeterminato, ossia non è un numero in particolare ma può assumere qualsiasi valore!!

Conclusioni

• Non c'è nulla di male a voler dividere un numero per 0.
• Non è affatto vero che tale operazione non ha senso.
• E' molto meglio dire che se dividiamo un numero diverso da 0 per 0 non esiste alcuna soluzione, mentre se dividiamo 0 con se stesso esistono infinite soluzioni.

E con questo è tutto miei cari amici.
Ci vediamo alla prossima!!
Ciaooooooooooooo!!!