CONJUNTOS NUMÉRICOS PARTE II: Los Números Enteros, un enfoque desde la Teoría de Grupos

in steemstem •  18 days ago  (edited)

"No hay rama de la matemática, por lo abstracta que sea , que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real”

Lobachevski


Números Enteros, Fuente: Geralt (2015) Licencia: CC0, Disponible aquí

Un saludos a todos los Steemian y en especial a los miembros de la comunidad científica de #STEM-ESPANOL y #STEEMSTEM; comunidades que durante mucho tiempo han apoyado mis publicaciones en esta red social. Continuando con mi serie de artículos sobre los conjuntos numéricos, en el presente artículo abordaré los números enteros, los cuales amplían el concepto de números naturales incluyendo al cero y a los números negativos.

En el articulo anterior se explico que los números naturales surgieron de la necesidad del ser humano de contar objetos, en este sentido los números enteros amplían esta definición permitiendo también contabilizar deudas y pérdidas de esta forma podemos apreciar al conjunto de los números enteros (denotado por Z) como un conjunto formado por los números naturales, el cero y los números negativos, debido a esta razón hablaremos un poco sobre el cero y los números negativos.

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Números utilizada en la antigua babilonia, Fuente: Josell7 (2010) Licencia: CC0, Disponible aquí

La aparición del cero en la historia de la humanidad se remonta a investigaciones astronómicas y matemáticas para las cuales se creó un símbolo para expresar la ausencia de valor, sin embargo, fue en babilonia en el siglo III A.C. donde se empezó a utilizar simbólicamente el cero, a pesar de esto muchos de los matemáticos y pobladores desconfiaban de este número recién creado que no contenía valor, es por ello que tuvieron que pasar varios siglos para que el cero evolucionara hasta convertirse en lo que conocemos actualmente. Básicamente el cero en la actualidad significa un número carente de valor, se asocia con la nada, la ausencia de objetos.

En relación a los números negativos, se definen como los números cuyo valor es menor que cero, si el cero representa la nada, los números negativos vendrían a representar menos que nada, es decir, pérdida o deudas.

El conjunto de los números enteros suele ser representado por la letra Z, en notación de conjunto podemos expresarlo Z= { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }, los puntos sucesivos indican la continuidad del conjunto hasta el infinito debido a que de igual forma que el conjunto de los números naturales el conjunto de los números enteros es infinito, y sobre ellos también podemos definir las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética y realizarlas teniendo en cuenta que:

• Tanto la adición como la sustracción de dos números enteros siempre nos darán otro número entero
• La multiplicación de dos números enteros siempre nos dará otro número entero.
• La división de dos números enteros puede dar como resultado un número racional (es decir, que está más allá del dominio de los enteros), Ejemplo 1 / 2= ½, para garantizar que el resultado sea un número entero el dividendo (primer número en la división) debe ser un múltiplo del divisor.

En base a lo anterior podemos concluir que el conjunto de los números enteros es cerrado para la adición, sustracción y multiplicación (lo cual representa una ventaja sobre los naturales que no son cerrados para la sustracción), pero no para la división. Al igual que con los naturales la adición, y multiplicación de números enteros cumplen las propiedades conmutativa y asociativa, es decir:

  1. El orden de los factores no altera el producto a+b=b+a y ab=ba
  2. Cuando se realiza la operación con tres números no es necesario agruparlos de cierta manera, a+(b+c)=(a+b)+c

Nociones de la teoría de grupos aplicadas a los Números Enteros

En la teoría algebraica de números se define el concepto de grupo como un conjunto G en el cual existe una operación interna (+) que cumple las siguientes propiedades

  • Asociatividad:Si A,B y C pertenecen a G se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)
  • Elemento Neutro: Existe un elemento N que pertenece a G, tal que A+N=N+A=A
  • Elemento Simétrico: Para todo elemento A perteneciente a G, existe un elemento simétrico tal que A + A-1 = N donde N es el elemento neutro de la propiedad anterior.

Fácilmente podemos apreciar que los números enteros cumplen dichas propiedades si tomamos como operación de referencia la adición, sin embargo, si quisiéramos verlo como un grupo tomando como operación la multiplicación y como elemento neutro al 1 no podríamos debido a que los números enteros no tienen elementos inversos (o por lo menos no que sean números enteros) que al multiplicarlos por el número original den como resultado el elemento neutro (es decir 1).

Adicionalmente se dice que un grupo es abeliano si verifica la propiedad conmutativa, como este es el caso de los números enteros se trata de un grupo abeliano.

La conceptualización de los números enteros como un grupo matemático permitió su estudio mediante el empleo de las técnicas del álgebra abstracta y el desarrollo de concepto matemáticos avanzados, por ejemplo, la criptografía utilizada por Bitcoin (Criptografía de Curva Elíptica) emplea conceptos de la teoría de grupos y de los números enteros, de esta forma se puede apreciar una de las aplicaciones de los números enteros y la definición de grupo matemático.

Si bien en esta serie de artículos partimos de los números naturales como la base para construir los demás conjuntos, los números enteros también representan un conjunto extremadamente necesario en las operaciones matemáticas de la vida cotidiana razón por la cual aparecieron hace milenios en la historia humana.

CONCLUSIONES

  1. Los números enteros si bien se construyen sobre la definición de números naturales amplían su alcance al incluir tanto al cero como a los números negativos.
  2. El enfoque de la teoría de grupos puede ser aplicado de forma adecuada al estudio de los números enteros.
  3. Los números enteros, a pesar de ampliar el concepto de los naturales no son suficientes por sí solos para resolver todos los problemas cotidianos , razón por la cual desde la antigüedad ya se empleaba también el conjunto de los números racionales.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS


  1. Budnick (2007), Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4ta edición Editorial Mc Graw Hill.

  2. González (2020), CONJUNTOS NUMÉRICOS PARTE I: Números Naturales, una Aplicación en Criptografía.

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