Prepárate para aprender cálculo infinitesimal a nivel universitario. III Parte: Ejercicios de repaso del capítulo I. Límite y sus propiedades del libro de Larson

in steemstem •  5 months ago 


Saludos amigos y seguidores de mi blog y para todos aquellos amantes del cálculo infinitesimal y la matemática.

En esta serie temática dedicada al cálculo infinitesimal a nivel universitario me he centrado prácticamente a resolver algunos ejercicios que me llaman la atención de los ejercicios de repaso de cada capítulo del libro de Larson y Hostetler de la octava edición.

Para esta ocasión estoy en estudio y evaluación de los límites y sus propiedades, para ello quiero que nos ubiquemos en la página 91 del libro en mención, en lo que sería los ejercicios de repaso de todo el capítulo I dedicado al estudio de los límites y sus propiedades.

En esta oportunidad quiero compartir un análisis con ustedes relacionada a la parte que dice: en los ejercicios 5 y 6, utilizar la gráfica para determinar el límite:

Ejercicio propuesto #5 (página 91 Libro de Larson. Octava edicion):


Ejercicio propuesto #6 (página 91 Libro de Larson. Octava edicion):


Para saber el comportamiento de estas funciones voy a utilizar el software geogebra 5.0 y de esta manera conozcamos el comportamiento del gráfico de cada una de estas curvas.

Gráfico de la función racional del ejercicio de repaso  #5 del libro de Larson

Este gráfico fue generado mediante el uso y aplicación del software geogebra 5.0 y editado en Microsoft Word 2013.

Para analizar la discontinuidad en el punto (0,-2) es necesario soportarnos en resolver el límite de la función racional cuando x tiende o se aproxima a cero. Del valor que nos arroje la solución del límite es que obtenemos la coordenada en y del punto de discontinuidad, ya que la coordenada en x del punto es cero que es hacia donde se aproximan los valores de x.

Dado este planteamiento procedemos al planteamiento del límite:


Una técnica muy apropiada y rápida para resolver este límite es buscar su solución numérica, es decir aplicando una técnica de resolución por el método de factorización (para este caso aplica sacar factor común), por lo que la solución para resolver el límite queda de la siguiente manera:


Cancelando y simplificando términos nos queda la siguiente expresión:


Para este caso ya habiendo factorizado por el método del factor común, simplemente hacemos tender el límite cuando la x tiende a cero, lo que implica que:


Como el límite de cuando x tiende a cero de la función racional es igual a -2, implica que cuando x se aproxima a cero por derecha y por izquierda el valor de la imagen es igual a -2.

Otra interpretación bastante interesante es ver al punto (0,-2) como un punto donde la función expresa una discontinuidad, es decir que realmente si existe una imagen cuando x=0, pero solo es posible saber la imagen aplicando la teoría de límite de una función real.

Lo otro importante a destacar es que esta función racional es continua en todos los puntos del plano cartesiano excepto en el punto marcado de rojo, tal y como se puede observar en el gráfico de la función racional del ejercicio propuesto #5.

Gráfico de la función racional del ejercicio # 6 del libro de Larson.


Este gráfico fue generado mediante el uso y aplicación del software geogebra 5.0 y editado en Microsoft Word 2013.

Para el caso del ejercicio número 6 de los ejercicios de repaso del capítulo I (Límite y sus propiedades) del libro de Larson en la página 91, se nos presenta una función racional, cuyas características son que para x=2 el denominador se hace cero, lo que significa que a medida que x se aproxime a x=2 la función racional se aproxima al infinito. Como se puede ver en la gráfica x=2 representa una asíntota vertical, ahora bien surge la siguiente pregunta de análisis:

¿Cómo sabemos que la función se aproxima al infinito cuando x=2?

Es bajo esta circunstancia en la que la teoría de Límite de una función real viene una vez más a ayudarnos a comprender el comportamiento del gráfico de esta funcion racional, para ello nos planteamos resolver el límite de la función racional cuando x se aproxima a 2, para ello se tiene que:


Para este caso no es necesario aplicar ningún artificio de factorización, ya que no pasa como el límite que resolvimos anteriormente, en el que si sustituimos el valor de x=0, nos iba a dar una indeterminación del tipo 0/0.

En esta ocasión si realizamos la sustitución directa del límite nos queda:


Para basarnos en este resultado simplemente nos enfocamos en la propiedad que nos dice que un número dividido entre cero es igual a infinito, expresado de otra forma:


Conclusiones y análisis en base a estos dos casos de estas dos funciones racionales estudiadas de los ejercicios de repaso del libro de Larson:

[1] En la función racional del ejercicio 5 de los ejercicios de repaso de la página 91 del libro de Larson podemos expresar su gráfico en base al gráfico de una línea recta que resulta después de la factorización de la función original, quedándonos que f(x) = x-2, sin embargo hay que tener en cuenta la función racional original, ya que a la final tenemos que aplicar la teoría de límite para resolver la indeterminación 0/0 que surge de sustituir x=0, situación que solo tiene respuesta satisfactoria mediante la teoría de límite.

[2] Cuando evaluamos la continuidad de la función racional del ejercicio 5 del libro de Larson llegamos a la conclusión que representa una función discontinua, pero no el intervalo de todos los números reales, sino solamente en el punto (0,-2), lo cual se puede ver en el gráfico #1 en el punto de color rojo.

[3] Mediante la resolución del límite de la función del ejercicio 6 del libro de Larson podemos concluir que todo límite que de infinito cuando la x tiende a un número cualquiera, implica que la tendencia de ese número x=a representa una asíntota vertical de una función racional.

[4] La función racional del ejercicio 6 del libro de Larson a diferencia de la función del ejercicio 5, esta es continua en todo su recorrido, teniendo como diferencia que esta tiene una asíntota vertical en x=2.

Bueno amigos espero que les haya gustado la escogencia de estos ejercicios, en particular los ejercicios de repaso del libro de Larson octava edición (página 91), quise compartir con ustedes el abordaje y análisis de estas dos funciones racionales, en las que principalmente se analizaron y evaluaron sus gráficos, apoyándonos principalmente el software de uso libre geogebra 5.0 con alguna que otra edición hecha con las herramientas de imagen de Microsoft Word 2013.

También se analizaron y evaluaron en base a su continuidad y asíntotas presentes, por lo que les recomiendo estén atentos a nuevas publicaciones relacionadas al estudio del cálculo infinitesimal, si tienes alguna o sugerencia, por favor compártela en los comentarios, y si te gustaría que resolviera algún ejercicio del libro de Larson u otro libro de cálculo en particular no dudes en hacérmelo saber en los comentarios.

Se despide de ustedes su amigo @carlos84, hasta una próxima entrega.

Referencia consultada y recomendada:

Libro de cálculo de Larson y Hostetler. Volumen I. Octava Edición



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