Prepárate para aprender las herramientas necesarias para el cálculo infinitesimal a nivel universitario. I Parte: Gráficas y modelos matemáticos

En base a mi trabajo actual, he decidido desarrollar una serie temática dedicada a las herramientas matemáticas como abordaje fundamental del pre-cálculo, y de esta forma poder estar preparados para abordar todo lo referente al estudio del cálculo infinitesimal.

Quiero abordar este conjunto de nuevos temas de una forma distinta, asociando este contenido con experiencias vividas con mis alumnos en la universidad, dando a conocer algunos criterios de enseñanza que he aprendido en los años de experiencia dentro de la universidad.

Quizá para muchos que llegaron a incursionar en la universidad en el área de la ingeniería y/o ciencias, se tuvo que haber topado con un pensum de estudio que contempla la unidad curricular de cálculo I, cálculo II, cálculo III y cálculo IV, en donde muchas experiencias en el aprendizaje del cálculo puede no haber sido lo más satisfactorio posible, sin embargo si tratamos de abordar esta materia de una forma más analítica e interpretativa podremos cambiar esas malas experiencias del pasado.

Referente al uso de la tecnología para el aprendizaje de esta materia, existen calculadoras gráficas y programas computarizados que ayudan en el abordaje de una manera distinta en la realización de gráficas en dos y tres dimensiones, para el caso de los objetivos que quiero cubrir, quiero utilizar el software de uso libre “geogebra 5.0”, con el uso de este software se puede incluso mostrar algunos entes comparativos de la forma en cómo se puede ver y analizar los gráficos de muchas funciones y ecuaciones polinómicas.

Bases teóricas

¿Quién revolucionó la incorporación de métodos gráficos en el uso de las ecuaciones?

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Fue René Descartes quien incorporó nuevas formas y visión de lo que se conocía en el mundo antiguo referente al uso de las ecuaciones sin ningún método gráfico, Descartes revolucionó sin lugar a dudas las matemáticas de la antigüedad logrando unir los principios básicos del álgebra con la geometría, su trabajo se enfocó en mostrar al mundo lo que hoy conocemos como sistema de coordenadas cartesianas, el cual consiste en la intersección de dos rectas, una horizontal y la otra vertical, denominados eje x y eje y.

Los logros encontrados con el nuevo sistema de coordenadas cartesianas radican en que el cálculo encontró el propio sistema de acoplamiento en donde se desarrolló múltiples perspectivas enfocadas en realizar el gráfico, interpretar un análisis en base al gráfico y realizar los análisis numéricos necesarios. Esta metodología es con la que vamos a empezar a desarrollar las bases necesarias para ir abordando los temas del precálculo.

Gráfica en el plano cartesiano a partir de una ecuación

Existen dos formas para representar manualmente la gráfica de una ecuación, una de ella es dándole valores arbitrarios a la variable independiente para saber qué valor le pertenece a la variable dependiente. Regularmente en una ecuación polinómica las variables que se expresan son las variables X e Y, por ejemplo: 

Si le damos valores arbitrarios positivos y negativos a la variable X podremos saber cuánto vale y correspondiente a ese valor asignado, por ejemplo:

Cada vez que se le da un valor a x, genera una imagen en y, los cero que se generen en y son los cortes en el eje x, mientras que el cero de x representa el corte en el eje y.

La segunda forma en la que podemos graficar es conociendo de una forma estimada el comportamiento del gráfico de la ecuación, y de esta forma encontrar los cortes con el eje x si y=0, y encontrando el corte con el eje y si x=0. Se tiene que:

[1] Corte con el eje y si x = 0, implica que:

Significa que la parábola corta Y=-4, es también preciso acotar que el punto (0,-4) es el vértice de la parábola.

[2] Corte con el eje x si y = 0, implica que:

Cuando y=0 tenemos dos cortes con el eje x, en x= 2 y x=-2

Con este método es necesario saber el comportamiento de la curva, ya que los únicos puntos que se conocen son los puntos de cortes.

Representación gráfica de una ecuación mediante el software geogebra 5.0

Para ver cómo queda el gráfico de la ecuación:

[1] Procedemos a meter la ecuación en el programa geogebra 5.0 en la parte de Entrada:

[2] Una vez que colocamos la ecuación de la parábola en la parte de la entrada, obtenemos el gráfico de la parábola:

Importancia de los modelos matemáticos en el gráfico de las ecuaciones

Los modelos matemáticos dan solución a los problemas de la vida real, estos problemas de la vida real se pueden representar con ecuaciones que funcionen como modelos matemáticos.

Por ejemplo en la industria petrolera se desarrollan modelos matemáticos en base a ecuaciones que modelan el comportamiento de muchos problemas que se pueden presentar a nivel de exploración y producción de hidrocarburos, sin embargo si el objetivo es desarrollar un modelo matemático para representar los datos que involucran el problema real, resulta necesario establecer un modelo matemático cuyas ecuaciones lleven implícito una sencillez tal que permita manejarlo fácilmente pero al mismo tiempo que posea la complejidad suficiente la cual pueda demostrar una precisión en los resultados que arroje.

Una vez que el problema o fenómeno de la vida real arroje los datos que involucra dos variables, podemos utilizar dos tipos de ecuaciones polinómicas que se puede ajustar muy bien para construir un modelo matemático, estas son la ecuación lineal y la ecuación cuadrática:

[1] Ecuación lineal: 

[2] Ecuación cuadrática: 

Conclusiones y aportes

[1] El conocimiento que se empezó a tener para el gráfico de ecuaciones fue gracias al aporte de René Descartes, quien fue el que revolucionó las matemáticas para entonces logrando ligar el álgebra con la geometría dando como aporte el sistema de coordenadas cartesianas, pudiendo de este modo dar los primeros pasos hacia la consolidación del cálculo infinitesimal.

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[2] Las estrategias para encontrar el gráfico de una ecuación va a depender de la destreza y capacidad de cada aprendiz, para el caso de este artículo se explican dos formas para conseguir los puntos del plano que son útiles para conseguir el gráfico de la ecuación, estos son mediante las imágenes generadas a partir de valores arbitrarios asignados a la variable x, y el otro método es encontrando la intersección con los ejes x e y.

[3] Es importante poder visualizar y aprender a emplear las herramientas tecnológicas para encontrar el gráfico de una ecuación, para el caso de este artículo se plantea una ecuación de segundo grado que representa una parábola y la cual es graficada con el software geogebra 5.0.

[4] En la experiencia que tengo abordando este tipo de ejercicios en donde se involucren ecuaciones y gráficos en el plano cartesiano he podido examinar que los alumnos generalmente presentan problemas al momento de abordar los despejes involucrados, y también muestran un poco de dificultad al momento de graficar. Como modo de solución pedagógica he utilizado un involucramiento de parte de ellos en clase s de asesoría y ejercitación en el pizarrón, viendo así un cambio circunstancial en la mejoría y evolución en este tipo de problemas que involucra ecuaciones y gráficos en el plano cartesiano.

[5] Finalmente con el uso de las ecuaciones y sus representaciones gráficas podemos construir modelos matemáticos ajustados a dar respuestas y solución a muchos problemas de la vida real en el área de la ingeniería, ciencia y tecnología.

Referencia consultada

[1] Libro de cálculo de Larson y Hostetler. Volumen I. Dirección web de consulta

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