ESTÁTICA APLICADA: bielas paralelas en sistemas materiales de 1 grado de libertad Parte III

in steemstem •  17 days ago  (edited)

Saludos y bienvenidos. La tercera y última parte de esta serie dedicada al estudio de las bielas paralelas en sistemas materiales de 1 grado de libertad (1 GL) aborda un caso muy particular del comportamiento inestable de los mismos. Especial saludo a la comunidad científica habla hispana de #Steem.

Introducción

El primer Teorema de los Polos (1mer TDP) dicta que en una cadena cinemática de 1 GL los polos absolutos entre dos chapas “i” y “j” se alinean con el polo relativo entre ellas[1]. El polo o centro instantáneo de rotación es el punto alrededor del cual una chapa o cuerpo rígido presenta rotación. El mismo puede estar en un punto propio (rotación con un determinado radio de giro) o encontrarse en el infinito o punto impropio (radio de giro infinito, traslación pura). Hasta ahora hemos abordado distintos casos del 1mer TDP en el estudio de sistemas materiales en donde uno o dos de los polos involucrados se encuentra en el infinito, pero ¿Qué sucede cuando todos los polos involucrados entre dos chapas (tanto los absolutos como el relativo) se encuentran en el infinito?.

Esta situación se puede presentar en sistemas materiales de 1 GL con presencia de bielas paralelas como vinculación interna entre dos chapas que sufren traslación pura, tal como se observa en la Figura N°1.

Figura N°1: las chapas I y II presentan traslación pura (desplazamiento de igual magnitud y dirección en todos sus puntos).

De modo que, al realizar el estudio de la estabilidad de un sistema material de estas características, se busca comprobar si se cumple o no el 1mer TDP en el mismo para verificar si hay presencia de cadenas cinemáticas de 1 GL, pero se debe analizar este caso con más detalle. Al realizar un análisis por movimientos infinitésimos, se debe proceder con un análisis especial cuando se presenta el 1mer TDP de esta forma, tal como se constató en el artículo ESTÁTICA APLICADA: análisis por movimiento infinitésimo de sistemas materiales de 1 grado de libertad ya que en este no se abordó el caso de sistemas materiales con bielas paralelas.

Cumplimiento del 1mer TDP

En la Figura N°1, puede que no exista alineación evidente entre los polos del sistema, pero al encontrarse ambos polos absolutos en el infinito, el movimiento de cada chapa no depende de una rotación con un radio de giro dado, sino que, al ser de traslación pura, el desplazamiento de cada chapa depende de la rotación que las bielas experimenten, es decir, el movimiento de todos los puntos del sistema pueden ser descritos en función de un parámetro único (la rotación de la biela). Entonces se verifica que el sistema posee 1 GL y se cumple el 1mer TDP bajo la modalidad de que tanto los polos absolutos como el relativo se encuentran en el infinito. Lo anterior se comprende mejor en la Figura N°2, donde se ha asumido que las bielas son dos chapas adicionales del sistema.

Figura N°2: se trazan direcciones para la ubicación de polo de la biela (perpendicular a la dirección de desplazamiento de cada chapa).

En palabras simples: ambas chapas no presentan rotación (polo en el infinito); no existe rotación relativa, ya que el polo relativo se encuentra en el infinito (las bielas restringen la rotación de una chapa respecto a la otra); por último, las bielas rotan al presentarse desplazamiento en una de las chapas, condicionando la magnitud y sentido del desplazamiento de la otra chapa. Entender este último punto es crucial para estudiar el comportamiento inestable del sistema ante un movimiento infinitésimo. Es decir, efectuar un análisis del sistema bajo movimientos de orden infinitesimal.

Análisis por movimiento infinitésimo

Figura N°3: ejemplo práctico.

El sistema material mostrado en la Figura N°3, posee 1 GL, por lo que presenta comportamiento inestable y se efectuará sobre él un análisis por movimiento infinitésimo. En la Figura N°4 procedemos a ubicar polos absolutos y relativos para así determinar las posibilidades de desplazamiento del sistema.

Figura N°4: ubicación de polos absolutos y el polo relativo.

Cabe destacar que la articulación móvil o “patín” proporciona a la chapa II una dirección para la ubicación de su polo absoluto, esto se obtiene en el primer paso. Luego, al aplicar el 1mer TDP encontramos que tanto el polo absoluto de la chapa I como el polo relativo de la chapa II están en el infinito. Por ende, el polo absoluto de la chapa II también estará en el infinito y su dirección es proporcionada por el “patín”.

Hemos hallado los polos del sistema material de 1 GL, por lo que procedemos a realizar el análisis por movimiento infinitésimo. En el artículo ESTÁTICA APLICADA: análisis por movimiento infinitésimo de sistemas materiales de 1 grado de libertad se le asignó a una determinada chapa una rotación infinitésima “α” arbitraria, sin embargo, en el presente caso, ninguna de las dos chapas presenta rotación. En consecuencia, le asignaremos a alguna de las dos chapas un desplazamiento arbitrario “δ”.

Imaginemos que la chapa I sufre un desplazamiento “δ” verticalmente hacia abajo. Las preguntas a responder serían: ¿La chapa II se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha? y ¿Que magnitud tendría este desplazamiento?. Quizá con un poco de imaginación y capacidad analítica podamos determinar visualmente hacia donde se mueve la chapa II, pero la magnitud de este desplazamiento debemos calcularla mediante una relación geométrica de un desplazamiento respecto al otro.

El procedimiento consiste entonces en realizar un análisis particular a una de las bielas para así determinar la manera en que la misma rota. En función a la dirección de posibles desplazamientos de cada chapa, hallaremos el polo de la biela (Figura N°5). Para ello debemos particularizar esta biela en dos puntos: un punto “P1” que representa a la chapa I y un punto “P2” para la chapa II.

Figura N°5

Conocido el polo de la biela, ya sabemos hacia donde se mueve la chapa II, ya que al aplicar un desplazamiento dado “δ” hacia abajo al punto “P1”, la biela debe de rotar en sentido antihorario, teniendo como resultado un desplazamiento hacia la derecha para el punto “P2” (ver Figura N°5). Posterior a esto debemos efectuar ciertas relaciones trigonométricas para hallar la magnitud del desplazamiento del punto “P2” (Figura N°6).

Figura N°6

En la Figura N°6 se le ha dado al triángulo formado por la biela catetos de longitud “a” y “b”. De esta manera podemos decir que ante una rotación infinitésima (que tiende a cero) la tangente del ángulo de rotación se hace igual a la magnitud del mismo, por lo que podemos expresar los desplazamientos como se observa en la Figura N°6. Posteriormente igualamos el ángulo de rotación en ambas expresiones, ya que es el mismo:

De esta manera, obtenemos una expresión la cual relaciona la magnitud del desplazamiento de la chapa I con el de la chapa II en función de “a” y “b”. Solo nos queda relacionar “a” y “b” con la geometría del sistema (Figura N°7).

Figura N°7

Obteniendo la siguiente expresión:

Cabe destacar que no siempre la pendiente de las bielas es igual a la pendiente de la barra adyacente, puede que las bielas posean una pendiente propia.

Finalmente sustituyendo la expresión (2) en (1), podemos obtener la magnitud del desplazamiento de la chapa II en función del desplazamiento “δ” asignado a la chapa I:

El análisis por movimiento infinitésimo del sistema dado resulta en que la magnitud del desplazamiento de la chapa II es igual a cuatro tercios la magnitud del desplazamiento de la chapa I, y se dirige hacia la derecha cuando la chapa I se desplaza verticalmente hacia abajo. En la siguiente animación podemos observar el comportamiento inestable de este sistema material de 1 GL con bielas paralelas (Figura N°8).

Figura N°8: movimiento del sistema material de 1 GL ante la aplicación de un desplazamiento verticalmente hacia debajo a la chapa I.

Y de esta manera hemos realizado el análisis por movimiento infinitésimo de este sistema material en el que el movimiento viene dado por la traslación pura de dos chapas vinculadas entre sí mediante bielas paralelas. Esta forma del 1mer TDP puede darse en ciertos sistemas materiales y es importante entender el comportamiento inestable de los mismos para su resolución. Este procedimiento es una de dos maneras de conocer el desplazamiento de las chapas vinculadas mediante bielas paralelas ante la traslación de ambas. En los diagramas cartesianos de desplazamiento se puede determinar mediante un diagrama auxiliar los desplazamientos del sistema para este caso, esto se abordará más adelante en una futura publicación.


Conclusiones

  • El primer Teorema de los Polos se cumple si tanto los polos absolutos como el relativo se encuentran en el infinito, indicando que ambas chapas se pueden trasladar formando un mecanismo inestable de 1 grado de libertad.
  • Las bielas paralelas evitan la rotación relativa y su inclinación y rotación ante la traslación de ambas chapas condiciona la magnitud de sus desplazamientos.
  • El sentido del desplazamiento de las chapas del sistema depende de la posibilidad de rotación de las bielas, ya que estas rotan ante la traslación de las chapas.
  • El análisis por movimiento infinitésimo implica un procedimiento adicional para determinar el desplazamiento de la chapa restante en función de la magnitud del desplazamiento conocido asignado a una de las chapas.

  • Referencias Bibliográficas

    [1]Rodríguez, Iván. (2003). Estática de las Estructuras. (P.30)Fuente para consulta

    Material recomendado

    @acont. ESTÁTICA APLICADA: análisis por movimiento infinitésimo de sistemas materiales de 1 grado de libertad

    @acont. ESTÁTICA APLICADA: bielas paralelas en sistemas materiales de 1 grado de libertad Parte I

    @acont. ESTÁTICA APLICADA: bielas paralelas en sistemas materiales de 1 grado de libertad Parte II


    Imágenes y ecuaciones de autoría propia realizadas mediante LibreCAD y Microsoft Word. Gif creado mediante Microsoft PowerPoint.


    Publicado mediante SteemSTEM.io


    Ing. Ángel Contreras

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