Cuáles son los divisores comúnes entre 2000 y 3000?

in #spanish2 days ago

El título de este post es una pregunta para despertar la curiosidad de ustedes

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Aquí intervienen las siguientes incógnitas:

¿Qué significa que un número sea divisor de otro?
¿Qué son divisores comunes entre dos o más números?
y
¿Cómo determinar esos divisores comunes?
Imagen tomada de Pixabay

Quizás a más de uno se le haya prendido la chispa y ha recordado la descomposición de números como producto de sus factores primos; eso es correcto, debemos descomponer cada uno de estos números como producto de sus factores primos.

Pero no, no exageremos, comencemos usando lógica matemática, no nos pongamos a trabajar como en la escuela, no. Hay formas más analíticas y deductivas para hacer esto.

Observa que: 2000=2.1000, y 1000=103; pero 10=2.5. Entonces 2000=2.(2.5)3. Aplicamos propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación nos queda: 2000=2.23.53 y aplicando productos de potencia de igual base: 2000=24.53


Similarmente procedemos con 3000, resultando que: 3000=23.3.53

Observese que en ambas descomposiciones se consiguen factores repetidos, tales factores reciben el nombre de factores comunes (de lo contrario, son factores no comunes). En el caso en el que estamos los factores comunes son: 2 y 5, logicamente 2 y 5 son divisores comunes entre 2000 y 3000, pero existe un máximo divisor común (MCD) entre 2000 y 3000. Cuál será ese MCD entre 2000 y 3000?


Este MCD se obtiene escogiendo de las descomposiciones anteriores, los factores comunes elevados a sus menores exponentes, esto es MCD(2000 y 3000)=23.53=8.125=1000 esto quiere decir que no existe otro divisor común entre 2000 y 3000 que sea mayor que 1000.

Los demás divisores comunes entre 2000 y 3000 son todos menores que 1000 y son todos aquellos números que son multiplos de 2 y 5 simultáneamente y que resultan de la multiplicación de cada elemento del siguiente conjunto {1,2, 4, 8} por cada elemento del siguiente conjunto {1,5, 25 y 125} (agregamos 1, porque 1 es el divisor universal)

Los resultados son los siguientes: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 y 1000; estos números son todos los divisores comunes entre 2000 y 3000.

Imagen tomada de Pixabay