Aplicaciones de las superficies cuádricas // Caso: Elipsoide

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Dando continuidad a las aplicaciones que tienen las superficies cuádricas, le toca el turno al Elipsoide, esta superficie cuádrica tiene muchas particularidades, que al igual que todas las demás superficies son originadas de la ecuación general de segundo grado de las superficies cuádricas. Entre las características más importantes de esta superficie cuádrica podemos encontrar:

1. Geométricamente hablando podemos considerar al elipsoide como una superficie curva cerrada, es decir así como una circunferencia o elipse pero vista desde un plano tridimensional.

2. La ruta que sigue la proyección ortogonal de sus tres planos en el sistema (x, y, z) son figuras geométricas elípticas, prácticamente originadas por planos cartesianos.

3. La vista y configuración geométrica del elipsoide se consigue mediante la deformación de la esfera, mediante un proceso de transformación en el que se consigue enlazar sus tres diámetros ortogonales.

Todas estas características nos llevan a la siguiente figura llamada Elipsoide:

^{Autor de la imagen: Winplot. Fuente de la imagen. Wikimedia Commons}

Al igual que la elipse, el elipsoide también posee un eje mayor y un eje menor, claro y es de suponerse esta característica, ya que el elipsoide deriva del entrecruzamiento de tres elipses en los planos: xy /xz / yz. Como podemos observar en la imagen anterior el eje mayor en ese caso es el eje x.

Otra característica importante que tiene esta figura geométrica, es que se puede considerar su giro alrededor de uno de sus ejes en el sistema tridimensional, si esto ocurre se origina un elipsoide en revolución, o lo que mejor se conoce como "ESFEROIDE". A continuación una representación del esferoide:

^{Esferoide oblato. Autor: AugPi. Fuente de la imagen. Wikimedia Commons}

En el estudio del cálculo y la Geometría analítica regularmente los profesores universitarios nos enfocamos más en la gráfica del elipsoide en el sistema tridimensional, para ello es necesario que les presente la ecuación general del elipsoide:

^{Autor: @carlos84}

Analicemos las trazas en los planos xy, xz, yz en relación a la ecuación general del elipsoide

• Si hacemos x=0, nos quedaría la elipse representada por la siguiente ecuación:

^{Autor: @carlos84}

Esta elipse queda graficada en el plano cartesiano yz. El valor de las constantes de a y b, la que tenga mayor valor representará a la variable que será su eje mayor.

• Si hacemos y=0, estaríamos graficando en el plano cartesiano xz, lo que graficaríamos en este plano es una elipse con la siguiente ecuación:

^{Autor: @carlos84}

• Si hacemos z=0, estaríamos graficando en el plano cartesiano xy, lo que graficaríamos en este plano es una elipse con la siguiente ecuación:

^{Autor: @carlos84}

En cada una de las elipse representadas en los tres planos se va a tener un eje mayor, eso va a depender de constante es la de mayor valor, y entre las constantes a,b y c la que tenga mayor valor será representativa de la variable (eje coordenado) que contenga al eje mayor.

Gráfica del Elipsoide con el software geogebra 5.0

Para graficar con el software geogebra 5.0, tomaré en cuenta un ejemplo empleando la ecuación del elipsoide, por lo que se graficara la siguiente ecuación:

^{Autor: @carlos84}

Por lo que introduciendo esta ecuación en la aplicación de geogebra 5.0, y exportando la imagen, obtendremos la siguiente gráfica:

^{Autor de la imagen: @carlos84}

Aplicaciones del Elipsoide

Al igual que otras superficies cuádricas el Elipsoide también es fuente de inspiración para que grandes arquitectos copien su forma geométrica en grandes construcciones y obras de arte de la construcción moderna.

^{Imagen elaborada mediante las herramientas de diseño de Microsoft PowerPoint. Las imágenes base para la elaboración fueron consultadas en}

Dentro de la ingeniería existen múltiples tanques que pueden llegar a tener la figura del elipsoide, por lo que resulta primordial el utilizar como herramienta la geometría y el cálculo para conseguir el volumen del Elipsoide.

Desde el punto de vista de la geometría podemos calcular este volumen con la siguiente ecuación:

^{Autor: @carlos84}

En el caso del elipsoide que graficamos con el software geogebra 5.0, el volumen del elipsoide sería igual a V = 4 x 3.14 x 2 x 3 x 4 /3, lo que implica que el volumen del Elipsoide es 100.48 unidades cúbicas.

Para el caso del cálculo infinitesimal, el volumen de un Elipsoide se representa con una integral triple definida, cuyos límites de integración lo dan los límites de corte con x,y,z. La función que se coloca en el integrando es la función de dos variables que representa el elipsoide.

Espero que este artículo sea del gusto y provecho académico de todos, hasta una próxima entrega.

Bibliografía consultada

1. Libro de Cálculo con Geometría Analítica. Autor: Larson y Hostetler. Volumen II.