CORONAVIRUS Y MATEMÁTICAS, APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL MODELO SUSCEPTIBLE-INFECTADO-RECUPERADOsteemCreated with Sketch.

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Saludos estimados miembros de la comunidad de HIVE de habla hispana y especialmente de #STEM-SOCIAL y #STEM-ESPANOL, aprovechando este tiempo de cuarentena, me dedique a estudiar algunos de los modelos acerca de la propagación de epidemias, sobre la base de esta investigación les presento el siguiente artículo que expone los fundamentos de uno de los modelos más utilizados en el campo de la epidemiología.


Imagen de Dominio Público, Autor: freakwave (2020) Fuente

Vivimos en tiempos de pandemia, diversos países del mundo tienen ya varias semanas en cuarentena semiparalizados por el temor a un agente infeccioso que ha provocado más de 320.000 muertes en todo el globo terráqueo, día a día vemos alarmantes noticias sobre el aumento del número de casos, la cantidad de fallecidos y las distintas medidas adoptadas por los gobiernos del mundo.

Sin embargo, el fin de esta pandemia no se ve cercano, mientras no exista una vacuna o cura el virus se extenderá hasta que la humanidad haya desarrollado inmunidad colectiva, en este escenario la ciencia permite predecir el comportamiento del virus de manera aproximada.

La epidemiología se encarga de estudiar la distribución y comportamiento de las epidemias para lo cual hace uso de modelos matemáticos que permiten predecir el número de casos en un momento dado. Históricamente uno de los modelos de predicción de epidemias más utilizados ha sido el modelo SIR (Susceptible – Infectado – Recuperado) que dada una población de N personas analiza como varían en el tiempo la cantidad personas en cada grupo.

En el presente artículo se abordarán los fundamentos teóricos y prácticos del modelo SIR y su aplicación en la pandemia actual por COVID-19 la cual ha causado tantas pérdidas humanas desde diciembre de 2019 hasta la actualidad.

MODELO SIR (Susceptible - Infectado - Recuperado)

Este modelo asume que cada individuo solo puede padecer la enfermedad en una única ocasión, es decir, una vez recuperado desarrolla inmunidad ante el agente patógeno, debido a esta razón es ideal para aplicarlo en las epidemias causadas por numerosos virus, tal como el SARS-CoV-2, el modelo SIR divide a la población afectada por la epidemia en tres grupos:

  1. Susceptibles (S): Son aquellas personas que no se han contagiado del virus por lo tanto no poseen ningún tipo de inmunidad ante el virus.
  2. Infectados (I): Son aquellas personas infectadas con el virus y que aún pueden contagiar a las personas susceptibles.
  3. Recuperados o Removidos ( R ): Son aquellos individuos del grupo poblacional que han padecido la enfermedad pero ya no pueden contagiar a los demás, por ejemplo, las personas curadas del virus desarrollan inmunidad por lo tanto no pueden infectarse de nuevo, es importante destacar aquí que desde el punto de vista del modelo matemático los fallecidos también se incluyen en este grupo debido a que ya no se les puede ubicar como susceptibles ni como personas que puedan infectar a los demás, por esta razón algunos autores prefieren usar el término removidos en vez de recuperados.

Teniendo en cuenta estos tres grupos poblaciones y definiendo el tamaño de la población como N, se observa que para un tiempo t la siguiente relación se cumple

f1.png

Es decir, el número de susceptibles más infectados y recuperados es igual al tamaño de la población en todo instante de tiempo, de esta forma podemos apreciar que el modelo no considera los nacimientos y las muertes no provocadas por la epidemia.

El Modelo SIR se basa en establecer relaciones entre las razones de cambio de los tres grupos poblacionales en el tiempo, matemáticamente el concepto que expresa la razón de cambio de una variable respecto a otra es el concepto de derivada.

El número de personas que se infectan en una unidad de tiempo será proporcional al número de susceptible y al de infectados, (esto se basa en el hecho de mientras más infectados haya aumentan las probabilidades de contagio, y mientras más personas sean susceptibles también habrá más casos nuevos) matemáticamente podemos expresar el número de nuevos contagios por unidad de tiempo como

f2.png

Donde beta representa la tasa de contactos adecuados para que se produzca un contagio por unidad de tiempo, S la población susceptible e I la población de infectados, cada vez que una persona se infecta sale del grupo de susceptibles y pasa al grupo de infectados, por lo tanto la razón de cambio del grupo de susceptibles en el tiempo es negativa, es decir:

f3.png

En lo que se refiere al número de infectados se podría pensar que viene dado por la siguiente ecuación

f4.png

Sin embargo, dicha expresión no toma en consideración el número de infectados que se recuperan y que ya no pueden seguir transmitiendo el virus, asumiendo que la tasa de recuperación se mantiene constante en el tiempo, el número de recuperados será proporcional al número de infectados, motivo por el cual expresamos la razón de cambio del número de infectados como:

f5.png

Donde gamma representa la tasa de individuos que pasan al estado de recuperados por unidad de tiempo.

Finalmente establecemos la razón de cambio del número de recuperados en el tiempo, teniendo en cuenta la constante gamma:

f6.png

Estas tres razones de cambio constituyen las ecuaciones diferenciales que rigen el modelo SIR

f7.png

El lector puede observar fácilmente que se cumple la siguiente igualdad

f8.png

Lo cual es consistente con el hecho de que la población se mantiene constante, es decir la suma de las variaciones de los tres grupos poblacionales debe ser siempre igual a cero (no se consideran nacimiento ni muertes no provocadas por el virus)

Las ecuaciones diferenciales del modelo SIR no son resolubles analíticamente razón por la cual se suelen utilizar computadoras paras aproximar sus valores numéricos que corresponderían a las cantidades de individuos en cada grupo en cada instante de tiempo.

El método consiste en aproximar cada derivada utilizando los valores de los grupos SIR más actualizados, y luego con un intervalo pequeño calcular las variaciones de los tres grupos poblacionales obteniendo nuevos valores para los grupos SIR, repitiendo el procedimiento una gran cantidad de veces.

Por ejemplo asumiendo el caso de Perú en el cual hay aproximadamente 30 millones de habitantes, en un momento dado (21/03/2020) se tenían 315 casos y 1 recuperado, con estos datos podemos iniciar la simulación del modelo SIR, es importante destacar que al programar se suelen usar variables normalizadas es decir los valores de S, I y R se expresan en función de 1 , es decir representan la proporción de cada grupo respecto al total de la población.

f9.png

Respecto a la constante beta relativa a la tasa de contagio asumiendo que cada persona contagia a 1,8 en un periodo de 15 días que es el tiempo que puede ser infeccioso, tenemos un beta de 1,8/15=0,12, para la tasa de recuperación se asume un gamma de 1/30, con estos datos de referencia programamos un script en WxMaxima mediante el siguiente código


/* MODELO SIR */
/* Licdo Ysmael González */
/* HIVE-2020 */
N:30000000$
S:(N-316)/N$ I:315/N $ R:1/N$ t:0.0$
deltat:0.0025$ /*Valor final del intervalo Xn y tamaño de paso*/
fpprintprec:6$ /*Número de cifras decimales*/
beta: 1.8/15$ gamma:1/30$
fpprintprec:8$ /*Número de cifras decimales*/
mostrar: 1/deltat$
i:0$
print("",t,"",S*N,"",I*N,"",R*N,"",(I+R)*N,"")$
while t<=180 do
(
i:i+1,
dS:-beta*S*I,
dI:beta*S*I-gamma*I, /*Razón de Cambio Infectados */
dR:gamma*I, /*Razón de Cambio Recuperados */
S:S+dS*deltat,
I:I+dI*deltat,
R:R+dR*deltat,
t:t+deltat,
if mod(t+0.0001,1)<0.00125 then print("",t,"",S*N,"",I*N,"",R*N,"",(I+R)*N,"")
);

Produciendo la siguiente salida

DíaSIRCasos
0.0 29999684 315 1 316
1.0 2.99996.10^7 343.514 11.9672 355.481
2.0 2.99996.10^7 374.61 23.9271 398.537
3.0 2.99996.10^7 408.52 36.9697 445.489
4.0 2.99995.10^7 445.499 51.1929 496.692
5.0 2.99994.10^7 485.826 66.7036 552.53
6.0 2.99994.10^7 529.803 83.6184 613.421
7.0 2.99993.10^7 577.761 102.064 679.825
8.0 2.99992.10^7 630.06 122.18 752.24
9.0 2.99992.10^7 687.092 144.116 831.209
10.0 2.99991.10^7 749.287 168.038 917.326
11.0 2.9999.10^7 817.112 194.126 1011.24
12.0 2.99989.10^7 891.075 222.575 1113.65
13.0 2.99988.10^7 971.733 253.599 1225.33
14.0 2.99987.10^7 1059.69 287.431 1347.12
15.0 2.99985.10^7 1155.61 324.326 1479.94
16.0 2.99984.10^7 1260.21 364.56 1624.77
17.0 2.99982.10^7 1374.28 408.436 1782.72
18.0 2.9998.10^7 1498.68 456.283 1954.96
19.0 2.99979.10^7 1634.33 508.462 2142.79
20.0 2.99977.10^7 1782.25 565.363 2347.62
21.0 2.99974.10^7 1943.57 627.415 2570.98
22.0 2.99972.10^7 2119.48 695.083 2814.57
23.0 2.99969.10^7 2311.32 768.875 3080.19
24.0 2.99966.10^7 2520.51 849.347 3369.86
25.0 2.99963.10^7 2748.64 937.101 3685.74
26.0 2.9996.10^7 2997.41 1032.8 4030.21
27.0 2.99956.10^7 3268.69 1137.16 4405.84
28.0 2.99952.10^7 3564.51 1250.96 4815.47
29.0 2.99947.10^7 3887.1 1375.06 5262.17
30.0 2.99943.10^7 4238.88 1510.4 5749.28
31.0 2.99937.10^7 4622.49 1657.98 6280.46
32.0 2.99931.10^7 5040.79 1818.91 6859.71
33.0 2.99925.10^7 5496.94 1994.41 7491.36
34.0 2.99918.10^7 5994.36 2185.8 8180.15
35.0 2.99911.10^7 6536.76 2394.49 8931.25
36.0 2.99902.10^7 7128.22 2622.08 9750.3
37.0 2.99894.10^7 7773.17 2870.25 10643.4
38.0 2.99884.10^7 8476.44 3140.88 11617.3
39.0 2.99873.10^7 9243.3 3435.99 12679.3
40.0 2.99862.10^7 10079.5 3757.8 13837.3
41.0 2.99849.10^7 10991.3 4108.73 15100.0
42.0 2.99835.10^7 11985.5 4491.39 16476.9
43.0 2.9982.10^7 13069.6 4908.67 17978.2
44.0 2.99804.10^7 14251.6 5363.69 19615.3
45.0 2.99786.10^7 15540.4 5859.86 21400.3
46.0 2.99767.10^7 16945.6 6400.9 23346.5
47.0 2.99745.10^7 18477.8 6990.86 25468.7
48.0 2.99722.10^7 20148.3 7634.16 27782.5
49.0 2.99697.10^7 21969.7 8335.61 30305.3
50.0 2.99669.10^7 23955.4 9100.47 33055.9
51.0 2.99639.10^7 26120.3 9934.45 36054.8
52.0 2.99607.10^7 28480.5 10843.8 39324.3
53.0 2.99571.10^7 31053.5 11835.3 42888.8
54.0 2.99532.10^7 33858.5 12916.4 46774.9
55.0 2.9949.10^7 36916.3 14095.1 51011.4
56.0 2.99444.10^7 40249.5 15380.3 55629.7
57.0 2.99393.10^7 43882.8 16781.5 60664.2
58.0 2.99338.10^7 47843.0 18309.1 66152.1
59.0 2.99279.10^7 52159.5 19974.6 72134.1
60.0 2.99213.10^7 56864.0 21790.3 78654.3
61.0 2.99142.10^7 61991.1 23769.8 85760.9
62.0 2.99065.10^7 67578.5 25927.7 93506.3
63.0 2.98981.10^7 73667.2 28280.1 1.01947.10^5
64.0 2.98889.10^7 80301.5 30844.4 1.11146.10^5
65.0 2.98788.10^7 87530.0 33639.6 1.2117.10^5
66.0 2.98679.10^7 95405.2 36686.3 1.32091.10^5
67.0 2.9856.10^7 1.03984.10^5 40007.1 1.43991.10^5
68.0 2.9843.10^7 1.13329.10^5 43626.3 1.56955.10^5
69.0 2.98289.10^7 1.23507.10^5 47570.8 1.71078.10^5
70.0 2.98135.10^7 1.34591.10^5 51869.3 1.8646.10^5
71.0 2.97968.10^7 1.4666.10^5 56553.5 2.03214.10^5
72.0 2.97785.10^7 1.59801.10^5 61657.5 2.21458.10^5
73.0 2.97587.10^7 1.74105.10^5 67218.6 2.41324.10^5
74.0 2.9737.10^7 1.89674.10^5 73277.3 2.62952.10^5
75.0 2.97135.10^7 2.06617.10^5 79877.5 2.86495.10^5
76.0 2.96879.10^7 2.25052.10^5 87066.9 3.12118.10^5
77.0 2.966.10^7 2.45104.10^5 94897.3 3.40002.10^5
78.0 2.96297.10^7 2.66913.10^5 1.03425.10^5 3.70338.10^5
79.0 2.95967.10^7 2.90625.10^5 1.12711.10^5 4.03335.10^5
80.0 2.95608.10^7 3.164.10^5 1.22821.10^5 4.39221.10^5
81.0 2.95218.10^7 3.44409.10^5 1.33827.10^5 4.78236.10^5
82.0 2.94794.10^7 3.74837.10^5 1.45806.10^5 5.20643.10^5
83.0 2.94333.10^7 4.07881.10^5 1.58842.10^5 5.66724.10^5
84.0 2.93832.10^7 4.43753.10^5 1.73026.10^5 6.1678.10^5
85.0 2.93289.10^7 4.82679.10^5 1.88457.10^5 6.71136.10^5
86.0 2.92699.10^7 5.24901.10^5 2.05238.10^5 7.30139.10^5
87.0 2.92058.10^7 5.70676.10^5 2.23486.10^5 7.94162.10^5
88.0 2.91364.10^7 6.20277.10^5 2.43322.10^5 8.63599.10^5
89.0 2.90611.10^7 6.73994.10^5 2.64879.10^5 9.38873.10^5
90.0 2.89796.10^7 7.32134.10^5 2.88299.10^5 1.02043.10^6
91.0 2.88912.10^7 7.95019.10^5 3.13736.10^5 1.10875.10^6
92.0 2.87957.10^7 8.62988.10^5 3.41352.10^5 1.20434.10^6
93.0 2.86923.10^7 9.36396.10^5 3.71323.10^5 1.30772.10^6
94.0 2.85806.10^7 1.01561.10^6 4.03836.10^5 1.41945.10^6
95.0 2.84599.10^7 1.10102.10^6 4.39092.10^5 1.54011.10^6
96.0 2.83297.10^7 1.19301.10^6 4.77303.10^5 1.67031.10^6
97.0 2.81893.10^7 1.29198.10^6 5.18695.10^5 1.81068.10^6
98.0 2.80381.10^7 1.39835.10^6 5.63509.10^5 1.96186.10^6
99.0 2.78755.10^7 1.51253.10^6 6.11996.10^5 2.12453.10^6
100.0 2.77006.10^7 1.63493.10^6 6.64426.10^5 2.29936.10^6
101.0 2.7513.10^7 1.76596.10^6 7.21077.10^5 2.48704.10^6
102.0 2.73118.10^7 1.906.10^6 7.82245.10^5 2.68825.10^6
103.0 2.70963.10^7 2.05544.10^6 8.48236.10^5 2.90368.10^6
104.0 2.6866.10^7 2.21462.10^6 9.1937.10^5 3.13399.10^6
105.0 2.66202.10^7 2.38386.10^6 9.95976.10^5 3.37983.10^6
106.0 2.63582.10^7 2.56342.10^6 1.07839.10^6 3.64182.10^6
107.0 2.60795.10^7 2.75353.10^6 1.16697.10^6 3.92051.10^6
108.0 2.57836.10^7 2.95435.10^6 1.26207.10^6 4.21642.10^6
109.0 2.547.10^7 3.16596.10^6 1.36403.10^6 4.52999.10^6
110.0 2.51384.10^7 3.38834.10^6 1.47323.10^6 4.86157.10^6
111.0 2.47886.10^7 3.62141.10^6 1.59002.10^6 5.21143.10^6
112.0 2.44203.10^7 3.86496.10^6 1.71475.10^6 5.57971.10^6
113.0 2.40336.10^7 4.11866.10^6 1.84778.10^6 5.96644.10^6
114.0 2.36285.10^7 4.38207.10^6 1.98942.10^6 6.37149.10^6
115.0 2.32054.10^7 4.65462.10^6 2.13999.10^6 6.79461.10^6
116.0 2.27646.10^7 4.93558.10^6 2.2998.10^6 7.23538.10^6
117.0 2.23068.10^7 5.22411.10^6 2.46909.10^6 7.6932.10^6
118.0 2.18327.10^7 5.5192.10^6 2.64812.10^6 8.16732.10^6
119.0 2.13432.10^7 5.81974.10^6 2.83708.10^6 8.65681.10^6
120.0 2.08394.10^7 6.12446.10^6 3.03612.10^6 9.16059.10^6

Tabla Nº 1. Simulación del Modelo SIR. Fuente: @ydavgonzalez

Según los datos de la tabla Nº 1 en un mes se tiene un total de casos de 5.749 y en dos meses 78.654 lo cual se aproxima a la realidad peruana en donde el número de casos ha aumentado considerablemente, sin embargo, debemos recordar que se trata solo de un modelo sujeto a diversas limitaciones producto de asumir ciertas circunstancias ideales, razón por la cual los datos reales tienden a variar.

Gráficamente la evolución del número de personas en cada uno de los tres grupos se observa en la siguiente imagen:

Grafica SIR.png
Gráfica de la evolución de las personas Susceptibles, Infectadas y Recuperadas. Fuente: @ydavgonzalez.

Como se observa en la imagen anterior, la curva de infectados presenta un punto álgido que para los datos del modelo es mayor a 10 millones de infectados en un momento dado, esto pone de relieve la gravedad de este tipo de virus de fácil propagación, este es el escenario al que podría llegar un País como Perú si no se toman las medidas adecuadas las cuales tienen como objetivo aplanar la curva y evitar que sobrepase la capacidad del sistema sanitario del país. A pesar de tener limitaciones los modelos de propagación de epidemias sirven a las agencias de salud pública como una guía para orientar su accionar en beneficio de la sociedad.

CONCLUSIONES

  1. El modelo SIR no considera las medidas tomadas por los gobiernos (cuarentenas, distanciamiento social, paralización del transporte) razón por la cual su aplicación ideal se da en un escenario sin estas medidas

  2. EL modelo SIR no contempla las variaciones en la población total, es decir, nacimientos y muertes no provocadas por la epidemia.

  3. Existen diferentes modelos de propagación de epidemias, el modelo SIR es la base de la mayoría de ellos, razón por la cual su comprensión es fundamental para proceder al estudio de otros modelos más avanzados.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

  1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

  2. Pereda(2010) Modelización matemática de la difusión de una epidemia de peste porcina entre granjas.

  3. Pliego (2011) Modelos Epidemiológicos de Enfermedades Virales Infecciosas.

  4. Saenz (2009), Cálculo Integral con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. 2da edición Editorial Hipotenusa.

  5. Sauer (2013), Análisis Numérico. 2da edición Editorial Pearson.

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Interesantes estadísticas sobre el covid19 y como la matemática juega en un papel fundamental en todo esto! @ydavgonzalez

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Saludos compañero, en caso de que se tomaran en cuenta las medidas preventivas en el modelo matemático supongo que la gráfica de Infectados reduce su pico máximo y amplia su duración en días (eje horizontal) ya que la tasa de infección se hace más lenta y hay menos recuperados y más susceptibles en un principio, haciendo que las gráficas azul y verde tengan une pendiente más suave. Esto seguramente será útil tanto en el presente como en futuros eventos similares, gracias por compartir.