Die Schönheit der Mathematik

in StemSocial2 months ago (edited)

Guten Tag,

vor einer Woche habe ich einen Contest für Mathe Beweise gemacht. Trotz Interesse einiger User gab es leider nur einen Hivian, der wirklich mitgespielt hat. Es ist vielleicht etwas viel verlangt, sich in seiner Freizeit mit dem schwierigsten Universitätsfach auseinander zu setzen, aber ich verspreche es lohnt sich.

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Einleitung

In der Schule wird den meisten Kindern Mathe mies gemacht. Hier heißt es stur Formeln lernen und das Geodreieck genau anlegen. Im Studium ist das anders, man lernt hier Definitionen, die meist logisch aufeinander aufbauen: Die natürlichen Zahlen kommen vom Zählen, dass jeder Mensch kennt. Die ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen mit Negativbereich. Die rationalen Zahlen entstehen durch das Verlangen Multiplikation rückwärts also Division zu machen, was passiert wenn man einen Kuchen auf vier Leute aufteilt? Brüche entstehen. Nun geht es ans eingemachte, jetzt will man die Lösung zu "Wurzel 2", also welche Zahl muss ich mit sich selbst multiplizieren damit das Ergebnis 2 ist. Die Antwort: Die irrationalen Zahl "Wurzel 2". Zum Schluß wird's komplex, dabei ist es ganz einfach. Wir lernen in der Schule: man darf keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen, was ist wenn man das aber doch will? Meet die komplexe Zahl i für die gilt i²=-1. Damit können alle Wurzeln aus negativen Zahlen gelöst werden.

Beweise

Beweisen, beweisen, beweisen um nichts anderes geht es an der Uni. Man lernt keine Formeln mehr, man ergründet sie. Gerade einfache Beweise sind eigentlich gar nicht schwer, aber für viele gibt es eine Blockade. Die ist bei mir damals zum Glück sehr schnell gefallen, aber für viele stellt sich die Frage: wie und warum macht man das Ganze? Das "wie" will ich mal kurz umschreiben auf das "warum" kommen wir später. Bei einem Beweis versucht man eine Formel oder Regel aus anderen Formeln und Regeln abzuleiten. Ganz wichtig dabei: Die Formel nicht mit sich selbst oder einer Folgerung aus ihr herzuleiten.

Ein ganz primitives Beispiel wäre der Beweis zu 0.999...=1 . Eigentlich mag ich den Beweis ganz gerne weil man ja intuitiv vermuten könnte, dass 0.9 Periode kleiner als 1 ist, vielleicht sogar die Zahl mit dem kleinstmöglichsten Unterschied zu eins, aber nein, es ist genau eins denn:
1/3 = 0.333... -->3/3 = 0.999...
und da wir wissen 3/3 = 1, wissen wir:
1 = 3/3 = 0.999...

Warum macht man Beweise

Bei Mathe weiß ich es nicht genau. Um zu zeigen, dass man klug ist? Für unsere echte Welt kann man aber aus Mathe herleiten, dass fast nichts logisch ist und immer wenn jemand sagt "Das ist doch logisch!"Könnt ihr das sagen "ehem, also eigentlich ist Logik ja ein viel enger gefasster Begriff und das, was du sagst, ist vielleicht plausibel aber noch lange nicht logisch". Damit macht man sich beliebt auf jeder Party!

Es ist schwer zu erklären. Ich habe auch nie verstanden warum ich ein Musikinstrument spielen oder malen soll. Ja, ihr lest richtig, ab dem Universitätslevel wage ich es Mathematik einen künstlerischen Aspekt zu zuschreiben. Dass ITler und Physiker manchmal ausversehen etwas mit den Erkenntnissen von Mathematikern anfangen können ist eigentlich eher sekundär, der Mathematiker knobelt gerne und es interessiert ihn kaum ob man das mal anwenden kann. Wie ein Rapper braucht der Mathematiker nur Stift, Block und eine Aufgabe. Wer versucht seine Lösungen in der Fachliteratur zu finden hat eigentlich schon verloren.

Die Schönheit

Es ist vielleicht schwer greifbar warum man relativ klar von schönen und hässlichen Beweisen reden kann. Grundsätzlich zählt Einfachheit und Verständlichkeit. Einfachheit ist leichter objektiv zu bewerten in der Anzahl der Schritte. Verständlichkeit ist wesentlich subjektiver, aber meiner Meinung nach der wichtigere Aspekt.

Ein gutes Beispiel wäre der Beweis für die Existenz von unendlich vielen Primzahlen. Ich weiß noch genau, dass die Musterlösung hier drei Schritte vorgesehen hatte und ich sie mit zwei Schritten lösen konnte :^).

Angenommen es gibt endlich viele Primzahlen, dann können wir sie alle miteinander multiplizieren und uns den Nachfolger des Produkts P+1 angucken. Dieser muss eine Primzahl sein, da P durch alle bekannten Primzahlen teilbar ist und die Lücke in jeder Zahlenreihe mindestens 2 ist. Da P+1 eine Primzahl ist, aber nicht teil der (angeblich) vollständigen und endlichen Menge an Primzahlen ist, haben wir einen Widerspruch zu unsere Annahme.---> Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Sauberkeit ist auch ein Kriterium, dass durchaus mal zum Punktabzug führen kann, also wenn man wichtige Teilaspekte unterschlägt oder unwichtige aufnimmt, für letzteres gibt es natürlich nur selten Punktabzug aber es ist sehr hässlich.

Ein Teaser für Fortgeschrittene

Zu guter letzt möchte ich eine Aufgabe für alle die stellen, die bis hierhin gelesen haben und nur müde gähnen konnten: Beweise dass n^4 für jedes n Element N entweder auf eins, sechs, null oder fünf endet. Anders formuliert: warum hat n^4 nur zwei Restklassen modulo 5?

Ich bin an der Aufgabe selber gescheitert und kenne die Lösung nicht. Ich würde eine vollständige Induktion ansetzen, aber bis jetzt hilft mir das nicht weiter... Viel Spaß!

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Interessant, aber ich würde gerne etwas meckern.

Mich stört etwas der Begriff "Formel". In Mathe hat man eigentlich selten mit Formeln zu tun (auch nicht in der Schule). Ich gebe öfter Brückenkurse in Mathe für z.B. angehende Studenten. Und meine Chef sagt denen immer: "Kauft ein Tafelwerk." Aber benutzen tun wir es nur selten. Man lernt in der Schule eher Algorithmen. Formeln benutzen die anderen - Physiker und so.

Auch mit den Definitionen gehe ich nicht da Kord. Ja, sie sind wichtig. Aber an der Uni geht es eher um Sätze. Man baut sich ein Modell aus Axiomen, legt Definitionen fest und macht dann logische Schlussfolgerungen, die sich Sätze nennen.

Warum beweist man? Ich würde sagen, weil man niemanden seine Behauptungen glauben sollte. Natürlich ist es auch für das mathematische Modell wichtig und es ist in gewisser Weise auch eine Arbeitserleichterung. Will ich den Satz des Pythagoras beweisen, kann ich ja schlecht alle Dreiecke ausprobieren.

Zum Primzahlbeweis:

Deine Aussage ist nicht ganz richtig P+1 muss keine Primzahlzahl sein. Sonst hättest du eine Primzahlformel gefunden und wärst jetzt vermutlich auch ohne Kryptos reich. ;)

P+1 zeigt nur, dass deine Liste an Primzahlen nicht vollständig ist und induktiv betrachtet nie vollständig sein kann.

n^4, schaue ich mir vielleicht nachher mal an. LG

Edit: Hab ne Lösung werde sie dir fix zusammenschreiben.

Ich weiß, Sätze und Axiome, Formeln sind es meistens echt nicht, aber ich adressiere ja hier den Ottonormal-Bürger, der versteht das glaube ich besser wenn ich nicht von Sätzen und Axiomen rede. Edit: Und ich mag den Begriff Definitionen halt, ein Körper ist durch seine Axiome definiert und in den Axiomen findet man Gesetze die definiert sind. Klar die ganzen Sätze sind Schlussfolgerungen oder Regeln die sich aus den Definitionen ergeben, aber ich wollte nicht unbedingt das ganze Vokabular einführen ;)

P+1 zeigt nur, dass deine Liste an Primzahlen nicht vollständig ist und induktiv betrachtet nie vollständig sein kann.

Jetzt muss ich die gleiche Diskussion führen wie vor 12 Jahren :D. Die Dozenten haben das auch angemeckert, aber mein Gegenargument ist, dass ich innerhalb meiner (fehlerhaften) Annahme sagen kann dass P+1 eine Primzahl ist. Die Definition einer Primzahl ist ja dass sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist und da P+1 durch keine bekannte Primzahl teilbar ist, darf ich schlussfolgern dass sie durch gar keine Zahl ausser eins und sich selbst teilbar ist (innerhalb meiner falschen Annahme). Natürlich kann ich auch einfach umformulieren und sagen dass es mindestens eine Primzahl außerhalb der Menge in der Annahme geben muss, aber dafür bin ich zu eitel :).

n^4, schaue ich mir vielleicht nachher mal an. LG
Edit: Hab ne Lösung werde sie dir fix zusammenschreiben.

Coolio! Ich freu mich drauf.

Hab mal n Post drüber geschrieben

Die meisten scheitern doch schon an dieser einfachen Aufgabe:
Was ergibt die Wurzel aus 1578522584 zum Quadrat?
Ohne Taschenrechner!
Schnelle Antwort nach höchstens einer Minute Bedenkzeit!
Wer kennt das Ergebnis oder kann es begründen?
!BEER

1578522584

Edit: Der Grund ist die Aufgabenstellung, ich habe fast eine Minute gebraucht um das zu sehen ;)

Dann sag doch bitte auch welche Wurzel ;)


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