Uso de principios de geometría - Problema de Suma y Resta de Vectores

A continuación vamos a proceder a solucionar un problema sencillo de suma y resta de vectores, el hecho de que sea un problema elemental muchas veces hace que el estudiante, incluso el profesor, pierda de vista detalles y formas de solución donde se aplican la geometría y la trigonometría y sólo se enfocan en los procedimientos algebraico.

La estructura de presentación de la solución de este problema la expongo en este blog de tal forma que he separado y enumerado las operaciones matemáticas necesarias, y están hechas paso por paso sin obviar detalles.

Planteamiento del problema

Dado los vectores: de 6 unidades haciendo un ángulo de
con el eje x; de 7 unidades en la dirección negativa del eje x. Hallar: a) la suma de los dos vectores; b) la diferencia de los dos vectores.

Solución

Operación (1):

Ahora como el vector tiene dirección negativa sobre el eje x, entonces tendrá una sola componente . Ver figura 1.

Operación (2):

Observe que en la operación (2) hemos colocado el signo negativo al vector unitario y no al valor de la componente , debemos recordar que las componentes son magnitudes y por lo tanto siempre son positivas, sin embargo, para posteriores problemas se le colocará directamente el signo negativo a la componente como resultado de la multiplicación por el vector unitario.

Teniendo los vectores y procedemos a sumarlos.

Operación (3):

Llamemos a la suma de los dos vectores y y hallemos su magnitud.

Operación (4):

Operación (5):

Calculemos la magnitud del vector .

Operación (6):

Hagamos ahora la gráfica de la suma y la diferencia usando el método del paralelogramo y del triángulo. Ver figura 2.

Como podemos observar en la figura 2. tenemos el paralelogramo , allí vemos que el ángulo y el ángulo son iguales por ser alternos entre paralelas, además el ángulo es igual a por ser ángulos opuestos por el vértice y que ya que .

La magnitud del vector la podemos calcular también usando la ley del coseno en el triángulo que se observa en la figura 2.

Operación (7):

Como podemos observar que con sólo una diferencia de una centésima.

De la figura 2, extraigamos o saquemos el triángulo , ver figura 3, y calculemos los ángulos y utilizando la ley del seno.

Operación (8):

Como la suma de los ángulos internos de todo triángulo debe ser igual a podemos hallar fácilmente el ángulo .

Operación (9):

De la figura 2, extraigamos o saquemos ahora el triángulo , ver figura 4, y calculemos los ángulos y utilizando la ley del seno.

Operación (10):

Operación (11):

Tarea: Hallar la magnitud del vector suma, , usando la ley del coseno y compararlo con (4).

Conclusión

En este problema elemental hemos sumado y restado dos vectores de formas diferentes, primero, usando el álgebra de vectores, y segundo, por medio de los métodos gráficos del paralelogramo y del triángulo. Hallamos las magnitudes de los vectores usando la definición algebraica y aplicando la ley del coseno; para calcular los ángulos internos de los triángulos que se forman en la solución del problema usamos la ley del seno.

Se puede apreciar la relevancia que tienen los conocimientos básicos de la geometría y de la trigonometría, los cuales muchas veces se menosprecian en la solución de este tipo de problemas ya que dichas soluciones generalmente son sólo enfocadas desde el punto de vista algebraico. Es importante tener presente todas las formas posibles para resolver problemas con vectores y compararlas. Una solución geométrica es importante cuando resolvemos problemas de vectores con aplicaciones donde los vectores son entes físicos como fuerzas, velocidades, aceleración, etc.

Bibliografía

1.- Sears F., et al. Física Universitaria Vol. I. 11 ed.. Pearson Educación, México, 2004.
2.- Finn E. J., Marcelo A. Física Vol I: Mecánica. Fondo Educativo Interamericano. México, 1971
3.- Chrtistie D. Vectors Mechanics, McGraw-Hill, 1971.
4.- Hewitt P. G. Física conceptual, 10 ed. Pearson Addison Wesley, México, 2007.
5.- Feynman R. P., et al. Física Vol. I: Mecánica, radiación y calor. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina, 1987.
6.- Baldor, J. A. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Cultural venezolana S.A., 1986.