Planos, rectas y vectores

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Planos, rectas y vectores

En la solución del siguiente problema vamos a ver una serie de conceptos y principios básicos de geometría, trigonometría y vectores. La importancia de este problema es que exige el análisis cuidadoso de cada lugar geométrico como el plano y la recta y como ellos se relacionan en el espacio. He escogido este interesantísimo problema que he extraido del libro de Alonso M. y Finn E. J. ya que es bastante completo y es uno de los más consultados por los estudiantes de mis cursos de física 1.

Problema

Demostrar que la distancia entre la recta que pasa por el punto $P_{1}$ y es paralela al vector $\vec{V}_{1}$ y la recta que pasa por el punto $P_{2}$ y es paralela al vector $\vec{V}_{2}$ .

$\frac{\vec{P_{1}P_{2}}\cdot \vec{V_{1}}\times\vec{V_{2}} }{\left | \vec{V_{1}}\times\vec{V_{2}} \right |}$

Solución

Para resolver este problema debemos saber que la distancia entre dos líneas que se cortan se definen como la longitud de la perpendicular más corta a ambas líneas. Acá vamos a utilizar las coordenadas de $P_{1}$ y $P_{2}$ y las componentes de $\vec{V_{1}}$ y $\vec{V_{2}}$ . Vamos también a aplicar el resultado para el caso cuando $P_{1} \left ( 4,5,-7 \right )$ , $P_{2} \left ( -3,6,12 \right )$ , $\vec{V}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ y $\vec{V_{2}}=-2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ .

Figura 1. Interpretación geométrica del enunciado del problema.

Si dos rectas en el espacio son paralelas cualquier segmento perpendicular perpendicular a ambas rectas será la distancia entre ellas, pero si no son paralelas, sólo y sólo un segmento será perpendicular entre ambas rectas. ¿Cómo podemos hallar este segmento que indica la distancia entre dos rectas no paralelas? Según los datos del problema procederemos de la siguiente manera.

Hallemos el producto vectorial entre $\vec{V_{1}}$ y $\vec{V_{2}}$ , como los vectores se pueden trasladar en el espacio los ubicamos entonces en el plano $\pi_{2}$ y sobre la recta $l_{2}$ , como también $\vec{^{V_{1}}}$ es paralelo a $l_{2}$ , entonces la dirección del vector $\vec{V_{2}}$ irá en la dirección de la recta $l_{2}$ . Ver figura 2.

Figura 2. Producto vectorial de $\vec{V_{1}}$ y $\vec{V_{2}}$ en el plano $\pi_{2}$ .

Podemos observar que $\vec{V_{1}}$ es paralelo al plano $\pi _{2}$ y por lo tanto está contenido en él, es decir, $\vec{V_{1}}$ y $\vec{V_{2}}$ están en el plano $\pi _{2}$ y $\vec{V_{1}}\times \vec{V_{2}}$ es perpendicular a ese plano y por lo tanto a la recta $l_{2}$ , llamemos $l_{3}$ a la recta que está en la dirección de $\vec{V_{1}}\times \vec{V_{2}}$ . Ver figura 2.

Ahora necesitamos que $\vec{V_{1}}\times \vec{V_{2}}$ o la recta $l_{3}$ sea perpendicular a $l_{1}$ , entonces trasladamos este producto vectorial y esta recta a lo largo de $l_{2}$ hasta intersectar perpendicularmente a $l_{1}$ , esto es posible ya que $l_{1}$ y $l_{2}$ pertenecen a planos paralelos ( $\pi_{1}\parallel \pi_{2}$ ).

Pueden haber infinitas rectas que son perpendiculares a $l_{2}$ y al plano $\pi _{1}$ , pero sólo una será perpendicular a $l _{1}$ . Ver figura 3.

Figura 3. Distintas rectas perpendiculares a $l _{2}$ y a $\pi_{2}$ que también son perpendiculares a $\pi _{1}$ . las rectas $l^{'}$ , $l{^{''}}$ , $l{^{'''}}$ , ..., $l{^{n}}$ son perpendiculares a $l_{1}$ , $\pi _{1}$ y $\pi _{2}$ , pero no intersectan a ningún punto de la recta $l_{1}$ , pero $l_{3}$ intersecta a $l_{1}$ y además ambas son perpendiculares.

Los puntos de intersección de la recta $l_{3}$ con $l_{1}$ y $l_{2}$ son $P_{1}$ y $A$ respectivamente. Ver figuras 3 y 1. Luego tomamos cualquier punto de $l_{2}$ diferente de $A$ y formamos un triángulo rectángulo $\triangle AP_{1}P_{2}$ , como se puede observar en la figura 1. Geométricamente podemos ver que la distancia entre $l_{1}$ y $l_{2}$ es $\overline{P_{1}P_{2}} \cos \theta$ , pero usemos los vectores para hallar dicha distancia. Traslademos $\vec{V_{1}}\times \vec{V_{2}}$ hasta el punto $P_{1}$ , ver figura 4, y colocamos un vector de la misma magnitud de la hipotenusa $\overline{P_{1}P_{2}}$ y a ese vector lo llamaremos $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ , (ver figura 4). Aquí podemos observar que la magnitud del vector proyección de $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ sobre $\vec{V_{1}}\times \vec{V_{2}}$ es la distancia $d$ .

Figura 4. El vector $\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}$ trasladado al punto $P_{1}$ .

Entonces procedamos a realizar los cálculos.

Vector proyección de $\overrightarrow{P_{1}P_{2}}$ sobre $\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}$ :

$\vec{P}_{P_{1}P_{2}/\vec{V}_{1}\times \vec{V}_{2}} = \overrightarrow{P_{1}A}=\frac{\left | \overrightarrow{P_{1}P_{2}} \right |}{\left | \vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}\right |} \cos \theta \quad \vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}$

La magnitud del vector proyección es

$\left | \overrightarrow{P_{1}A} \right | = \frac{\left | \overrightarrow{P_{1}P_{2}} \right |}{\left | \vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}\right |} \cos \theta \quad \left | \vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2} \right |$

$\left | \overrightarrow{P_{1}A} \right | = \left | \overrightarrow{P_{1}P_{2}} \right |\left | \vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}} \right | \cos \theta \quad \frac{1}{\left |\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}} \right |}$

Por la definición de producto escalar podemos escribir la expresión anterior de la siguiente manera

$\left | \overrightarrow{P_{1}A} \right | = \frac{\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\cdot \vec{V}_{1}\times \vec{V}_{2}}{\left | \vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}} \right |}$

donde $\left | \overrightarrow{P_{1}A} \right | = d$ , es decir la distancia entre las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ $\mathbf{Q.E.D.}$

Ahora si $P_{1}\left ( 4,5,-7 \right )$ y $P_{2}\left ( -3,6,12 \right )$ entonces

$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=\left ( -3-4 \right )\hat{i}+\left ( 6-5 \right )\hat{j}+\left ( 1+2 \right )\hat{k} =-7\hat{i}+\hat{j}+19\hat{k}$

luego

$\vec{V}_{1}\times \vec{V}_{2}=\begin{vmatrix} \hat{i} &\hat{j} &\hat{k} \\ 1 & 1 & 1\\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix}=2\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k}$

$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\cdot \vec{V}_{1}\times \vec{V}_{2}=\left ( -7\hat{i}+\hat{j}+19\hat{k} \right )\cdot \left (2\hat{i}-5\hat{j}+3\hat{k} \right )=-14-5+57=38\ u^{2}$

$\left | \vec{V}_{1} \times \vec{V}_{2}\right |= \sqrt{2^{2}+5^{2}+3^{2}}=6.16 \ u.$

$d=\frac{38 \ u^{2} }{6.16\ u }= 6.17 \ u$

Por lo tanto la distancia entre las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ es de $6.17 \ u$ .

Conclusiones

Con la solución de este problema hemos puesto a prueba una vez más el poder de la geometría, trigonometría y el análisis vectorial. El planteamiento del problema en principio parece muy elemental y básico, sin embargo, como pudimos ver su solución requiere de una interpretación correcta de los lugares geométricos o elementos que se describen en el enunciado. Con su solución en detalle podemos ver que es bastante completo y nos obliga a analizar con cuidado cada interpretación que podamos dar a la hora de solucionarlo.

Fuentes bibliográficas

Finn E. J., Alonso M., Física Vol I: Mecánica. Fondo Educativo Interamericano, México, 1971
Sears F. Zemansky, Young H., Freeman R. Física universitaria, 11ra. Ed., Volumen I, Pearson Addison Wesley, México, 2004.
Brand Louis, Análisis vectorial. C.E.C.S.A, México, 1975.

Fuentes de las imágenes

Todas las demás imágenes fueron hechas por mí usando en software Power Point.

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2 comments

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Problema

Solución

Figura 1. Interpretación geométrica del enunciado del problema.

Figura 2. Producto vectorial de y en el plano .

Figura 3. Distintas rectas perpendiculares a y a que también son perpendiculares a . las rectas , , , ..., son perpendiculares a , y , pero no intersectan a ningún punto de la recta , pero intersecta a y además ambas son perpendiculares.

Figura 4. El vector trasladado al punto .

Conclusiones

Fuentes bibliográficas

Fuentes de las imágenes

Figura 2. Producto vectorial de $\vec{V_{1}}$ y $\vec{V_{2}}$ en el plano $\pi_{2}$ .

Figura 4. El vector $\vec{V_{1}} \times \vec{V_{2}}$ trasladado al punto $P_{1}$ .