Serie de Fourier y su aplicación en el análisis de circuitos eléctricos
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En el análisis de redes eléctricas encontramos que las fuentes que alimentan un circuito pueden ser de tipo continuo o alterno, siendo estas últimas comúnmente funciones periódicas de tipo sinusoidales, lo que hace posible que el circuito eléctrico sea analizado a través de métodos fasoriales relativamente simples.
Sin embargo, en la práctica encontramos una gran variedad de fuentes eléctricas que generan señales periódicas que no son de tipo sinusoidal, tal es el caso de los rectificadores de onda, generadores de barrido presentes en los osciloscopios para controlar el haz de electrones y en los generadores de funciones ampliamente utilizados en los laboratorios de investigación y enseñanza, cuyas formas de onda periódicas son de tipo triangular, cuadrada o rectangular entre las comunes.
Las señales periódicas no sinusoidales también están presentes en fenómenos de vibraciones mecánicas, flujo de calor y flujo de fluidos donde, al igual que en el caso eléctrico, se hace necesario la aplicación de métodos matemáticos que permitan el análisis de los sistemas donde estos tipos de señales actúan.
La solución para este tipo de señales periódicas no sinusoidales fue dada por el Matemático Jean Baptiste Joseph Fourier, quien demostró que una señal periódica puede representarse como una suma infinita se funciones sinusoidales relacionadas armónicamente, la cual es conocida como la serie de Fourier. Esta representación de una señal periódica en función de señales sinusoidales permite obtener la respuesta de un sistema para cada una de las señales sinusoidales actuantes, a partir de técnicas fasoriales donde la respuesta total estará determinada por la sumatoria de las respuestas obtenidas por cada señal sinusoidal, según lo establece el principio de superposición.
En este trabajo presentaremos un análisis de la aplicación de la serie de Fourier para obtener la respuesta de una red eléctrica cuando las fuentes de excitación son de tipo periódica no sinusoidales.
Fundamento teórico
En los estudios realizados por Fourier sobre la propagación de calor encontró que una señal periódica, la cual satisface la condición:
Donde:
n → Es un entero
T → Periodo
puede representarse como una suma infinita de senos y cosenos de la forma:
Donde los términos a0 , an, bn son conocidos como los coeficientes de Fourier, en el que a0 representa la amplitud de la señal en f=0 (componente DC) y an y bn representan las amplitudes de la señal para frecuencias distintas de cero (componentes alternas), y están definidos por las siguientes ecuaciones:
ω0 → Frecuencia angular fundamental
En la siguiente imagen se puede observar como evoluciona la serie de Fourier hacia la señal periódica original no sinusoidal, cuando es evaluada para distintos valores de n.
Wikimedia Commons - Dominio público
Usando propiedades trigonométricas, la serie trigonométrica de Fourier puede expresarse de la forma alternativa:
Donde:
Aplicaciones en el análisis de circuitos
En el análisis de circuitos eléctricos, cuyas fuentes de alimentación generan señales periódicas no sinusoidales, la respuesta en estado estable de dicho circuito es obtenida con la aplicación de una serie de Fourier de la señal periódica, donde posteriormente las técnicas fasoriales y el principio de superposición conduce a la respuesta total del circuito ante las distintas señales sinusoidales de entradas derivadas de la serie de Fourier.
Ejercicio practico
En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento para obtener la respuesta en estado estable "v0(t)" de un circuito, cuando una señal periódica no sinusoidal alimenta el circuito eléctrico.
Solución
Paso 1: Obtenemos la serie de Fourier de la señal periódica v(t)
En la representación grafica de la señal v(t) se observa que el periodo fundamental de la señal es 
.
.
La función v(t) esta dada por:
Con los parámetros obtenidos y la señal definida se obtienen los coeficientes de Fourier:
Con los coeficientes de Fourier se tiene que la serie de Fourier de la función "v(t)" toma la forma:
Evaluando la serie para los tres primeros armónicos tenemos:
Paso 2: Analizamos en frecuencia el circuito para obtener la función de salida "v0(t)" en función de la señal de entrada "v(t)" .
Aplicando un divisor de voltaje tenemos:
Donde:
Se puede notar que para n=0 el voltaje V0=0.
Sustituyendo “V” en la ecuación de V0 obtenemos en forma fasorial la expresión:
En el dominio del tiempo tenemos que:
Evaluando para los primeros tres armónicos de la serie se tiene finalmente que v0(t) adquiere la forma:
Se puede notar que el voltaje de salida "v0(t)" esta conformado por la sumatoria de funciones sinusoidales en las que cada una representa la respuesta a las correspondientes señales actuantes que conforman la señal de entrada "v(t)".
Gracias por leer mi publicación, espero que el análisis realizado en este trabajo permita fortalecer y consolidar sus conocimientos en el estudio de redes eléctricas.
Si tienes alguna duda, pregunta o sugerencia deja tus comentarios y con mucho gusto te responderé.
Referencias
- Circuitos Eléctricos. James W. Nilson. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana.
- Física Vol. II Campos y ondas. Marcelo Alonso, Edward J. Finn. Fondo Educativo Interamericano, S.A.
- Física para ingeniería y ciencias Vol.2 Tercera Edición / Hans C. Ohanian, John T. Markert.
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Hola @lorenzor un escrito donde explicas de forma excelente las Series de Fourier. Así como, las ecuaciones diferenciales, Laplace y otras son un compendio de técnicas o herramientas, en el tiempo o en frecuencia que ayudan al análisis y/o diseño de sistemas, en este caso circuitos eléctricos. Gracias.
Saludos @alfonsoalfonsi. Gracias por tu visita y apoyo.