Análisis Fasorial de un circuito eléctrico

in StemSocial2 months ago

¡Hola amigos de Hive blog¡

Reciban un cordial saludo.

Los circuitos eléctricos alimentados por señales alterna de tipo sinusoidal se caracterizan por generar una respuesta transitoria cuya permanencia en el tiempo es muy breve y una respuesta que permanece en el tiempo conocida como respuesta en estado estable.

Una vez alcanzado el estado estable de operación de un circuito, el interés se centra en la obtención de esa respuesta, dado que la respuesta transitoria es despreciable.

Ahora bien, la obtención de esta respuesta en el dominio del tiempo requiere de operaciones matemáticas complejas debido a que las expresiones que se derivan del análisis de estas redes son ecuaciones de tipo integro- diferenciales.

Esta complejidad matemática es evitada aplicando una transformación del circuito del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, conocida como transformación al dominio fasorial. Esta transformación al dominio fasorial conduce a expresiones matemáticas cuyas operaciones son de tipo algebraica, facilitando de este modo la obtención de las soluciones de manera significativa.


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Figura 1 – Fasor
(Elaborada por @lorenzor)

A continuación se muestra una señal alterna de voltaje de tipo sinusoidal dada por la expresión:

Señal en el Dominio del Tiempo

vm → Magnitud de la señal
ω → Frecuencia angular
ϕ → Fase

La representación fasorial de la señal "v(t) " es un número complejo en el que están representadas la magnitud y fase de la señal v(t) según se muestra en la siguiente expresión:

Señal en el Dominio Fasorial

Esta transformación es realizada desde el dominio del tiempo al dominio fasorial y viceversa constituyendo un par transformado.

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Es importante acotar que un Fasor es definido por norma o convención a partir de la función Coseno.

Dado que un fasor es un número complejo, este puede ser expresado en forma rectangular o exponencial, según se muestra a continuación:

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Donde:


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X → Parte Real
Y → Parte Imaginaria

Esta transformación fasorial es aplicada también a las ecuaciones que relacionan el voltaje y la corriente en los elementos pasivos resistencia, inductores y capacitores.

A continuación se muestran estas transformaciones.

RESISTENCIA

Para un resistor por el que fluya una corriente de la forma:


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El voltaje entre sus terminales dado por la Ley de Ohm toma la forma:

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El fasor de la expresión (12) está dado por:

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INDUCTOR

En el caso del inductor, dado que el voltaje esta relacionado con la variación temporal de la corriente (derivada), se debe determinar en principio esta variación para posteriormente obtener la expresión fasorial del voltaje en dicho elemento.

Para una corriente en el inductor de la forma:

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El voltaje en el inductor esta dado por:

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Derivando la corriente se tiene:


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Usando la identidad


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Transformando al dominio fasorial tenemos:


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Transformando a la forma polar:

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En la expresión (23) el término "jωL" representa la Impedancia (oposición a la corriente eléctrica) en los terminales del inductor y cuya unidad es “Ω”.

CAPACITOR

En el caso del capacitor, dado que la corriente eléctrica en sus terminales es una función de la variación temporal del voltaje, se debe determinar dicha variación para posteriormente proceder a la obtención de la relación fasorial entre el voltaje y la corriente.

Para una señal de voltaje sinusoidal en los terminales del capacitor de la forma:

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Dado que:

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Derivando la expresión (24) y sustituyendo en (25) se obtiene:

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Procediendo de la forma similar al caso del inductor, se obtiene que la transformación fasorial de la expresión (26) esta dada por:

image.png

En la expresión (27) el término representa la Impedancia (oposición a la corriente eléctrica) en los terminales del capacitor y cuya unidad es “Ω”.

En general la expresión fasorial entre el voltaje y la corriente en los elementos pasivos de un circuito esta dada por la expresión:

image.png (Ley de Ohm Fasorial)

Donde "Z" representa la Impedancia del elemento o circuito.

En las siguientes figuras se muestra la representación de cada elemento en el dominio fasorial.

image.png

Figura 2 - Representación fasorial de una resistencia
(Elaborada por @lorenzor)

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Figura 3 - Representación fasorial de un inductor
(Elaborada por @lorenzor)

image.png

Figura 4 - Representación fasorial de un capacitor
(Elaborada por @lorenzor)

Ejercicio

En el circuito que se muestra en la figura la fuente alterna de voltaje esta descrita por la siguiente expresión:

image.png

Determine la corriente "i(t)" en estado estable.

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Solución

Para facilitar el análisis se procede a la transformación fasorial de cada uno de los elementos que constituyen el circuito.

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De esta forma tenemos que la impedancia total de la combinación en serie esta dada por la sumatoria de cada una de las impedancias obtenidas.

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De la ley de Ohm Fasorial dada por la expresión (28) se tiene que:

image.png

Sustituyendo tenemos:

image.png

Expresando la impedancia compleja en forma polar se tiene:

image.png

Resolviendo la división tenemos:

image.png Fasor corriente

En el Dominio de tiempo la corriente toma la forma:

image.png

De esta forma se puede apreciar que el método fasorial nos facilita el análisis y solución del circuito con herramientas matemáticas netamente algebraicas.

Referencias

  • Circuitos Eléctricos. James W. Nilson. Cuarta edición. Addison-Wesley Iberoamericana.
  • Introduction To Electromagnetic Fields Third Edition / Clayton R. Paul, Keith W. Whites, Syed A. Nasar
  • Física Vol. II Campos y ondas. Marcelo Alonso, Edward J. Finn. Fondo Educativo Interamericano, S.A.
  • Física para ingeniería y ciencias Vol.2 Tercera Edición / Hans C. Ohanian, John T. Markert.
  • Teoría electromagnética. Willian H. Hayt, Jr., John A. Buck. Séptima edición. McGraw Hill.

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