Ecuación de Bernoulli

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Hola querida comunidad de Hive, reciban un cordial saludo! Si revisamos publicaciones anteriores notaremos que hemos desarrollado todo lo referente a la Dinámica de fluidos, el día de hoy cerraremos esta serie, hablaremos sobre la Ecuación de Bernoulli.

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Imagen realizada con la página web de diseño gráfico y composición de imágenes Canva.

Antes de comenzar con el desarrollo del tema es importante saber que esta ecuación fue propuesta por Daniel Bernoulli un físico, matemático y médico suizo quien no solo realizo grandes aportes a la matemática, sino que también destacó en estadística, probabilidad, elasticidad e hidrodinámica. Una de sus más grandes contribuciones fue a la dinámica de fluidos con el Principio o Ecuación de Bernoulli.

Anteriormente analizamos la ecuación de continuidad donde la rapidez de flujo puede variar en el transcurso de una trayectoria, pero la presión también puede variar dependiendo de la altura. En este caso podemos hacer uso de una relación muy importante llamada Ecuación de Bernoulli, la cual relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura; esta relación resulta tener diversas aplicaciones, y ser indispensable para el estudio de sistemas de plomería, el vuelo de los aviones y las plantas hidroeléctricas.

Ahora bien, para deducir dicha ecuación debemos hacer uso del teorema de trabajo y energía en una sección de un tubo de flujo. Si observamos la imagen que se presenta a continuación analicemos el elemento de fluido que en que en algún momento se encuentra entre dos secciones transversales a y c. La rapidez en los extremos son V1 y V2, en un intervalo de tiempo dt.

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Fuente: Zemansky (2009)

Si el fluido se mueve desde a hasta b a una distancia de:

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El fluido que inicialmente se encuentra en c y se mueve hasta d, entonces la distancia es:

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Como podemos ver en la imagen las áreas transversales en los extremos son A1 y A2. El flujo es incomprensible, por lo que, la ecuación de continuidad sabemos que el volumen de fluido dv que atraviesa por cualquier sección transversal durante el tiempo dt es el mismo. En conclusión:

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Si determinamos el trabajo que se efectúa sobre este elemento de fluido durante dt, entonces podemos suponer que la fricción interna del fluido es despreciable, es decir, no existe viscosidad; por lo que las únicas fuerzas no gravitacionales que efectúan trabajo sobre el fluido derivan de la presión del fluido circundante. Las presiones en los dos extremos son p1 y p2, por lo que la fuerza en a es.

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Y la fuerza sobre la región transversal c es:

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Por lo que el trabajo total dW realizado sobre el elemento por el fluido circundante durante el desplazamiento resulta ser:

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Si observamos bien la expresión podemos ver que el segundo término tiene signo negativo y esto es porque la fuerza en c se opone al desplazamiento del fluido. El trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad, por lo tanto, es igual al cambio en la energía mecánica total asociada al fluido. La energía mecánica para el fluido entre las secciones b y c no varía. Al inicio de dt, el fluido entre a y b tiene un volumen.

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La energía cinética es:

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Al final de dt, el fluido entre c y d tiene energía cinética

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Por lo tanto, el cambio de energía cinética dK durante dt es:

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Ya en este punto sería oportuno preguntarnos, ¿Qué ocurre con el cambio en la energía potencial gravitatoria? Lo que podemos decir es que al iniciar dt, la energía potencial para la masa que se encuentra entre a y b es.

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Al final de dt entonces la energía potencial para la masa que se encuentra entre c y d es.

Presentación1.png

Es decir, que la energía potencial dU durante el intervalo dt es:

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Si combinamos las ecuaciones de trabajo, energía cinética y energía potencial dW = dK + dU obtenemos que:

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Acabamos de presentar la ecuación de Bernoulli, la cual establece que el trabajo realizado sobre una unidad de volumen de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cambios de las energías cinética y potencial por unidad de volumen. Si interpretamos la ecuación antes descrita en términos de presión, sabiendo que el primer termino de la derecha es la diferencia de presión asociada al cambio de rapidez del fluido; y que el segundo término a la derecha es la diferencia de presión causada por el peso y la diferencia de altura del fluido. De esta manera, también podemos expresar la ecuación de Bernouli como:

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Ya para despedirme espero que el tema sea del agrado de los lectores y deseo ver en los comentarios sus opiniones y aportes significativos que ayuden a la ampliación del tema y que genere un debate crítico y enriquecedor para la satisfactoria divulgación del conocimiento científico.


Referencias

Hewitt, P. (2007). Física conceptual, Décima Edición. Mexico: Pearson Educación.

Serway, R & Jewett, J. (2005). Física para Ciencias e Ingenierías, Volumen I. México: International Thomson Editores, S.A

Zemansky, S. (2009). Física Universitaria Volumen I. México: Pearson Educación.

Nota: Las ecuaciones presentadas en esta publicación son diseñadas y editadas por mi persona utilizando elementos e imágenes del programa Microsoft Power Point.


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Su post ha sido valorado por @ramonycajal

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La ecuación de Bernoulli, los ingenieros no pueden vivir sin ella jaja

Me llama la atención que los libros de física la expresan en términos de presión. Cuando llegué a materias de ingeniería hidráulica, fue un choque raro para mi porque en ingeniería se expresa todo en metros, es decir, metros de presión, metros de energía cinética, metros de energía potencial, etc.

Me hiciste recordar las clases de hidráulica jaja y mis post sobre las líneas de energía, una manera gráfica de expresar la ecuación de Bernoulli. Saludos @hannymarchan!

Hola @acont disculpa lo tarde que te respondo, es que estaba sin internet trabajando con los datos del teléfono y es muy limitado... La ecuación de Bernoulli es muy utilizada en la ingeniería, sobre todo en la civil, tiene lógica expresarla e esa manera ya que ella relaciona ambos conceptos tanto la presión como las diferencias entre longitudes.

Si, así es más práctico, aunque al principio suene raro que la "presión" se mida en metros, es algo que a mi me costó asimilar en un principio cuando vi mecánica de fluidos jaja

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