TRANSDISCIPLINARIDAD STEM: ESTUDIO DEL CÁLCULO DE LA PERMEABILIDAD DE UN SUELO DESDE UN ENFOQUE MATEMÁTICO Y GEOTÉCNICO. PARTE I

in StemSocial3 months ago

En mi carrera como escritor para la subcomunidad de StemSocial como lo es STEM-ESPANOL, la transdisciplinaridad ha estado presente y las Matemáticas han tenido un gran protagonismo. En esta serie temática de TRANSDISCIPLINARIDAD STEM busco realzar este hecho, para despertar la inquietud de todos mis queridos lectores hacia la infinidad de aplicaciones que tienen las ciencias puras en otras tantas áreas del saber. Así que sin más preámbulos disfruta de esta interesante publicación que he preparado con mucho cariño y esfuerzo.

INTRODUCCIÓN

La presencia de las Matemáticas en los diversos ámbitos de la vida, me lleva a pensar que el conocimiento en su más pura expresión es una muestra de transdisciplinaridad. En esta oportunidad vamos a ver como el área de la Hidráulica interviene en el laboratorio de Mecánica de Suelos para estudiar la velocidad del flujo de agua a través de este material, lo cual se podrá cuantificar gracias a las Matemáticas en un valor conocido como conductividad hidráulica o simplemente permeabilidad y que representaremos de ahora en adelante con la letra “k” minúscula.

Imagen N°01: una visión global de los contenidos a estudiar

Fuente: @eliaschess333, año: 2021. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint.

DELIMITACIÓN DE LA TEMÁTICA A ESTUDIAR Y ASPECTOS CONCEPTUALES DE IMPORTANCIA

La permeabilidad de un suelo puede ser obtenida de muchas maneras que abarcan ensayos de campo y laboratorio. Nosotros vamos a enfocarnos al laboratorio y de los distintos procedimientos trabajaremos con el permeámetro de carga variable, que aplica para aquellos suelos con tendencia a presentar valores bajos de permeabilidad, lo cual va en relación directa proporcional a la calidad del drenaje, es decir, son suelos con mal drenaje por la sencilla razón de la dificultad que tiene el agua de atravesar el medio poroso. Normalmente estos tipos de suelo están constituidos por una proporción de finos muy importante, como por ejemplo, arenas finas, limos, mezclas de arena-limo-arcilla (te recomiendo la lectura de la referencia N°07 en la que abordo los diferentes tamaños de partículas que constituyen a un suelo ). También pueden entrar en este campo suelos modificados, por ejemplo aquellos que son compactados y que de forma artificial (a través del proceso de compactación) sus vacíos son reducidos; típicamente la permeabilidad de estos tipos de suelo va en el orden de “10 -2 cm/seg” a “10 -7 cm/seg”; velocidades de flujo realmente bajas, lo que influye en el método de laboratorio a usar para estimar tales valores.

Imagen N°02: delimitación de la temática a estudiar

Fuente: @eliaschess333, año: 2021. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint.

De acuerdo a la imagen N°02 este método recibe el nombre de Permeámetro de Carga Variable y está regido por la normativa ASTM D 2434-68. A diferencia del método de Permeámetro de Carga Constante (ver imagen N°02), donde se mide la cantidad de agua que atraviesa la muestra de suelo en un tiempo determinado, en el caso del método que nos ocupa se miden las variaciones de altura de agua en un tiempo determinado. Conviene señalar que estaremos aplicando la Ley de Darcy como punto de partida en el abordaje matemático del problema, gracias a ciertas consideraciones de carácter geotécnico e hidráulico, como lo son las de considerar al suelo totalmente saturado y la régimen de flujo laminar, respectivamente. Esta ley fue abordada en la referencia N°05 y se resume en la siguiente expresión:

Donde “i” es el gradiente hidráulico obtenido según la ecuación N°01, “v” es la velocidad con la que el agua atraviesa el medio poroso y “k” tal como se señaló anteriormente es la “PERMEABILIDAD”, es decir, el coeficiente que deseamos determinar; por lo que a pesar que el método de interés es el del permeámetro de carga variable, es necesario tener como referencia ciertas premisas que orientan la determinación de este coeficiente en el método de permeámetro de carga constante. En este orden de ideas, de la ecuación N°02 despejamos “k”:

Sustituimos en “i” la ecuación N°01:

El término resaltado en color “rojo” en la ecuación N°04 puede ser expresado de la siguiente manera:

Donde “Q” es el caudal y “A” el área que el fluido atraviesa. Ahora bien, el término “Q” también puede ser expresado de la siguiente manera:

Donde “V” es el volumen de agua que atraviesa un área (muestra de suelo) y “t” el tiempo que demora para hacerlo. En este sentido la ecuación N°06 se puede sustituir en la ecuación N°05:

Y esta nueva expresión obtenida para “v” se puede sustituir en la ecuación N°04:

La ecuación N°08 más allá de ser la expresión que permite obtener el valor de “k” en el método de permeámetro de carga constante, es el punto de partida en las deducciones que vamos a estar realizando para encontrar la ecuación que rige la obtención de “k” en el uso del método de carga variable, en el cual comenzamos abordar el problema en términos de diferenciales de altura “dh” y de tiempo “dt” lo que abre las puertas al cálculo diferencial (ver imagen N°03), específicamente a emplear el teorema fundamental del cálculo:

En base a las consideraciones realizadas, el objetivo general de la publicación es: estudiar el cálculo de la permeabilidad de un suelo con mal drenaje desde un enfoque matemático y geotécnico. Los pasos para lograr esta meta son los siguientes:

Objetivos Específicos:

01.- Describir didácticamente el mecanismo de funcionamiento del permeámetro de carga variable.

02.- Deducir la ecuación de permeabilidad para el caso del uso del permeámetro de carga variable en laboratorio.

Procedamos con el desarrollo de cada uno de estos objetivos específicos, destacando que en torno al primero de ellos he decidido preparar un recurso audiovisual que permita dejar claro los aspectos que van a estar incidiendo en la deducción de la ecuación para encontrar el coeficiente de permeabilidad con el uso del permeámetro de carga variable, destacando que los aspectos conceptuales tratados en este tópico es importante tenerlos bien entendidos.

DESCRIPCIÓN DIDÁCTICA DEL MECANISMO DE FUNCIONAMIENTO DEL PERMEÁMETRO DE CARGA VARIABLE

En el siguiente recurso audiovisual se describe didácticamente este mecanismo, por lo que te invito a que disfrutes del siguiente video.

Video N°01: estudio de la permeabilidad en el laboratorio de Mecánica de Suelos

Fuente: @eliaschess333, año: 2021. Nota: video elaborado por el autor con ayuda de las herramientas computacionales Camtasia Studio 8, Adobe Audition 3.0. Los esquemas conceptuales que se presentan fueron elaborados por el autor con las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE PERMEABILIDAD PARA EL CASO DEL USO DEL PERMEÁMETRO DE CARGA VARIABLE EN LABORATORIO

A continuación traigo a colación la imagen principal del video presentado anteriormente, y así realzar las variables y constantes que inciden en la deducción de la ecuación que nos ocupa:

Imagen N°03: constantes y variables involucradas en el método de carga variable

Fuente: @eliaschess333, año: 2021. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint.

En primera instancia de la ecuación N°08 despejemos “V”:

Para mayor comodidad, presentamos la ecuación N°10 de la siguiente manera:

La imagen N°03 sugiere la presencia de diferenciales, es decir, pequeñas variaciones en la altura de agua “dh” (debido al mal drenaje del suelo) en pequeños instantes de tiempo “dt”. Estas pequeñas variaciones de agua podemos expresarla en términos de variaciones de volumen “dV”, por lo que los términos resaltados en color “azul” en la ecuación N°11 pueden expresarse en términos de diferenciales, obteniendo así una nueva ecuación:

La idea de las variaciones de volumen “dV” queda sustentada en la siguiente expresión:

Donde “a” es el área de la sección transversal de la tubería que conduce el agua que atraviesa el suelo. Y “dh” como se ha comentado anteriormente es la variación de la altura de agua, colocando el símbolo negativo en la expresión para hacer referencia que hay un descenso del agua.

@eliaschess333 que hermoso ver cuando todo tiene una explicación…

Ahora podemos igualar las ecuaciones N°12 y N°13 de la siguiente manera:

Rescribimos la ecuación n°14 basándonos en agrupar los valores que tienen que ver con alturas de agua “h”:

Para eliminar los diferenciales (términos resaltados en color “rojo”) procedemos a integrar a ambos lados aplicando la técnica de integración definida, referida en la ecuación N°09, en donde los límites de integración “a” y “b” se especifican en la imagen N°03, obteniendo por lo tanto lo siguiente:

Resolvemos estas integrales para llegar a la siguiente ecuación:

Rescribimos:

Los términos resaltados en color “rojo” para fines prácticos los podemos expresar simplemente como “t” y a los resaltados en color “azul” se les aplica esta propiedad:

Basado en estas consideraciones, la ecuación N°18 queda de la siguiente manera:

Finalmente despejamos “k”:

Esta expresión si se desea expresar en términos de logaritmo de base 10, se multiplica por “2.302” de la siguiente forma:

CONCLUSIONES

En la parte II de esta serie temática realizaremos unos ejemplos prácticos para dar mayor claridad al uso de las expresiones deducidas en esta publicación, por lo que ahora concierne las principales conclusiones se especifican a continuación:

1.-La ley de Darcy publicada en 1856 tiene plenamente vigencia en nuestros días, lo que hace ver lo trascendental de los aportes de nuestros científicos del ayer.

2.-El uso del permeámetro de carga variable es recomendable para suelos con mal drenaje, aunque curiosamente en el caso particular de las arcillas (suelos caracterizados por ser extremadamente finos y por consiguiente de una baja permeabilidad) se recomienda el cálculo de la permeabilidad a partir del ensayo de consolidación. Sobre este punto, ahondaremos en la parte III de esta serie temática.

3.-Las aplicaciones de las matemáticas son realmente impresionantes, de allí lo oportuno de este tipo de publicaciones para enaltecer la transdisciplinaridad STEM.

Hasta una próxima oportunidad mis queridos lectores, donde seguiremos profundizando en este interesante tema de la Mecánica de los Suelos, que hace un llamado a otras ramas del saber cómo lo son la Hidráulica y las Matemáticas y bajo el lema de "EDUCAR MÁS ALLÁ DE LOS MUROS DEL AULA" hacer que estos conocimientos lleguen a cada uno de ustedes. Escribió para ustedes:

@eliaschess333

FUENTES DE INFORMACIÓN CONSULTADAS

01.- BADILLO J. Y RODRÍGUEZ R. 2007. MECÁNICA DE SUELOS TOMO I. FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE SUELOS. EDITORIAL LIMUSA S.A. GRUPO NORIEGA EDITORES

02.- BADILLO J. Y RODRÍGUEZ R. 1995. MECÁNICA DE SUELOS TOMO III. FLUJO DE AGUA EN LOS SUELOS. EDITORIAL LIMUSA S.A. GRUPO NORIEGA EDITORES

03.- CRESPO V. CARLOS.1995. MECÁNICA DE SUELOS Y CIMENTACIONES. SEXTA EDICIÓN. EDITORIAL LIMUSA S.A. GRUPO NORIEGA EDITORES.

LECTURAS RECOMENDADAS

04.- @ydavgonzalez (2018). APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA EN EL CÁLCULO DEL TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE (PERSPECTIVA ANALÍTICA Y NUMÉRICA). DISPONIBLE EN: https://steemit.com/stem-espanol/@ydavgonzalez/aplicacion-de-la-integracion-definida-en-el-calculo-del-trabajo-realizado-por-una-fuerza-variable-perspectiva-analitica-y

05.- @eliachess333 (2018). ABORDAJE DIDÁCTICO DEL FENÓMENO DE CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL DE LOS SUELOS DESDE UN ENFOQUE MATEMÁTICO CON BASAMENTO EN EL PRINCIPIO DE ESFUERZOS EFECTIVOS Y LA LEY DE PERMEABILIDAD DE DARCY. PARTE I. Disponible en: https://hive.blog/stem-espanol/@eliaschess333/ozrzfpbw

06.- @eliachess333 (2020). TRANSDISCIPLINARIDAD STEM: APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES EN EL ESTUDIO DE LA GRAVEDAD ESPECÍFICA DE UN SUELO GRUESO. Disponible en: https://hive.blog/hive-196387/@eliaschess333/transdisciplinaridad-stem-aplicaci-n-del-principio-1597657885

07.- @eliachess333 (2020). EL SUELO ES ALGO MÁS DE LO QUE PISAMOS: ESTUDIO DE LAS PROPIEDADES ÍNDICES DE LAS ARCILLAS PARA PREDECIR NIVELES DE EXPANSIÓN. Disponible en: https://hive.blog/hive-196387/@eliaschess333/el-suelo-es-algo-m-s-de-lo-que-pisamos-estudio-de--1592350669

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Saludos compañero @eliaschess333 que bueno ver de nuevo una publicación sobre Suelos. Aún recuerdo estos ejercicios y alguos casos particulares de examen donde el permeámetro tenía forma de cono y había que calcular el tiempo, la altura o alguna otra incógnita.

Excelente trabajo, una publicación muy completa y didáctica en esta materia. Espero leer las otras dos partes, saludos y bendiciones!

Compañero @acont, gracias por la receptividad. En la parte dos desarrollaré algunas aplicaciones prácticas. Como siempre nuestros profesores buscando complicarnos los ejercicios. Saludos, bendiciones para ti tambien!

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