Integral definida por sustitución o cambio de variables

in StemSocial2 months ago (edited)

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Hola amigos e integrantes de la plataforma hive.

En esta oportunidad quiero presentarles la forma en cómo podemos resolver una integral definida para resolverla primeramente de la forma indefinida por el método de sustitución o cambio de variable.

Una vez que logremos resolver la integral indefinida, entonces aplicamos el teorema fundamental del cálculo y de esta forma terminamos de resolver la integral definida.

La integral que les quiero presentar para ser resuelta inicialmente como una integral indefinida por el método de sustitución o cambio de variable es una función racional del tipo polinómica, en la cual su solución está en aplicar una regla básica de integración que no es más que la regla básica del logaritmo neperiano.

Planteamiento del ejercicio matemático

Resolver la siguiente integral definida por el método de sustitución o cambio de variables:


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Podemos deducir que no es necesario que se nos especifique el método para resolver la integral, ya que es evidente que la debemos resolver por el método de sustitución o cambio de variable, esto lo podemos deducir porque el numerador de la fracción es la derivada de toda la expresión que está en el denominador, por esta razón empezamos resolviendo la integral de la siguiente forma:

[1] Nos planteamos la integral indefinida:

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[2] Aplicamos el método de sustitución o cambio de variable, en donde:

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La razón por la que se selecciona como la variable U a la función polinómica del denominador es porque casualmente su derivada se encuentra de forma implícita en el numerador de la fracción, por lo que al paso siguiente es encontrar el diferencial de U (du):


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Como en el numerador de la fracción que compone el integrando solamente se encuentraimage.png, debemos despejar el 6 de dicha expresión que involucra su derivada:

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[3] Realizamos el cambio de variable de la función racional polinómica y sustituimos por du y u:

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Como pudimos observar en la resolución de la integral indefinida todo queda en función de la variable [U], si se busca las reglas básicas de integración podremos chequear que la integral del du/u es igual al Ln[u], es importante tener en cuenta que 1/6 sale de la integral como una constante.

[4] Devolvemos el cambio de variable:

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Simplemente en donde estaba la variable U colocamosimage.png, adicionalmente debemos sumarle la constante de integración C.

¿Todo queda resuelto hasta este punto?

Como sabemos el objetivo del planteamiento presente es resolver la integral definida, hasta ahora solo hemos resuelto la integral indefinida, para resolver la integral definida simplemente debemos tomar el resultado de la integral indefinida y aplicar el teorema fundamental del cálculo.

A continuación les presento el teorema fundamental del cálculo:

Si la función f es una función integrable en el intervalo cerrado [a,b] y también se cumple que f = g' para alguna función g entonces se cumple lo siguiente:

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Si aplicamos este teorema nos queda que:

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Luego se puede aplicar factor común 1/6:

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Resolvemos el valor de cada logaritmo natural:

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Conclusión y análisis de los resultados

El resultado de esta integral definida es 0,22.

Lo cual nos hace reflexionar y llegar a la conclusión de que una integral indefinida nos da como resultado final una función más la constante de integración y, una integral definida nos da siempre como resultado un número real, la razón por las que una integral definida nos da como resultado un número real es porque cuando realizamos el cálculo de una integral definida estamos calculando el área de la función que está dentro del integrando.

Referencias consultadas y recomendadas

Cálculo completo Vol 1 y 2 9na Edición Ron Larson & Bruce H. Edwards

Nota: todas las imágenes de las ecuaciones usadas en esta post son de mi autoría y fueron elaboradas usando las herramientas de inserción de ecuaciones de Microsoft Word.

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Muy buena explicación , esto me sirve para mi carrera de ingeniería en informática , me alegra encontrar este tipo de post en esta plata forma y tan bien explicado te felicito sigue así :D.

Por aquí pasó El Comentador y valoró este comentario.
@josemalavem
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Hola @beast855.

Para mi es un placer que mi contenido pueda ayudarte en la universidad, casi siempre estoy subiendo este tipo de contenido. Saludos y gracias por comentar.

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