Aplicaciones de la derivada: Crecimiento demográfico de bacterias en un cultivo

in hive-196387 •  4 days ago 

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Pixabay

Saludos amigos y seguidores de la plataforma hive.

Esta vez sigo en mi serie temática de educación universitaria, como todos saben, siempre ando ojeando los ejercicios propuestos y por resolver del libro de cálculo de Larson Volumen I.

En esta ocasión sería conveniente ubicarnos en la página 127 de la sección de ejercicios propuestos 2.3, en el cual he elegido el ejercicio # 87 como ejercicio propuesto, que resulta ser fiel candidato para demostrarles una de las aplicaciones que tiene la derivada como lo es las “razones de cambio”.

Cuando se analizan los fenómenos que implican razones de cambio, nos encontramos que son en su mayoría fenómenos físicos, biológicos, entre otros, cuya característica principal es que una variable puede crecer o disminuir en comparación a otra.

Ejercicio #87 del libro de cálculo de Larson volumen I. Página 127 de la sección 2,3.

Enunciado:

Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de número de acuerdo con la ecuación:

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En donde t se mide en horas. Calcular el ritmo de cambio al que está creciendo la población cuando t=2

Interpretación y análisis teórico para abordar la solución del ejercicio del crecimiento demográfico

Si analizamos lo que está aconteciendo, nos podemos dar cuenta que dentro de cualquier cultivo se pueden introducir cualquier cantidad de agentes o patógenos biológicos, que según sea su perturbación dentro del ecosistema invadido necesitan poder ser estudiado en consecuencia de la tasa demográfica con la que están entrando a determinado ecosistema.

En el caso del presente ejercicio nos podemos dar cuenta que esta población de bacterias crece dentro de determinado cultivo al ritmo que indica la ecuación que se presentó en líneas anteriores. Lo otro que se puede evidenciar es que esta tasa de crecimiento demográfico va a depender del tiempo, por lo que podremos tener que, a medida que el tiempo aumenta la tasa de crecimiento demográfico también aumentará.

Como la tasa demográfica cambia respecto al tiempo, y esa tasa de crecimiento viene dada por la función P(t) y se nos pide encontrar cual es la tasa de crecimiento de las bacterias en el instante de tiempo igual a 2 horas, lo más conveniente es encontrar la primera derivada de la función P(t) y después sustituir t = 2 horas en la derivada de la función P(t).

Solución del ejercicio #87 del libro de cálculo de Larson volumen I. Página 127

[1] Encontrar la primera derivada de la ecuación

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Para encontrar la primera derivada de esta ecuación tenemos que ver que tenemos dos términos que se están multiplicando, los dos términos que se está multiplicando son:

1º termino:image.png

2º termino:image.png

Por lo que resulta conveniente aplicar la regla básica de derivación [U.V]', en donde:

[U.V]'= U'V + UV'

En donde se puede decir que:

U: image.png

V:image.png

Como la derivada de una constante es igual a cero, nos queda que:

U' = 0

Mientras que la derivada de V. [V]' sería la derivada de la suma de dos términos, en donde el primer término sería una constante, por lo que a derivada de 1 sería cero. Por lo tanto solo nos queda derivar el siguiente termino:image.png

Tendríamos entonces que derivar un cociente por lo que la derivada de un cociente es:

image.png

En donde W=image.png y Z=image.png, por lo que finalmente:

  • Para resolver la derivada del numerador (4t) hay que tomar en cuenta que se tiene la multiplicación de una constante por una variable, cuando es así se mantiene la constante y se multiplica por la derivada de la variable t, en el caso de la derivada de una variable si buscamos en las reglas básicas de derivación tenemos que la derivada de una variable es igual a 1, por lo que la derivada del numerador queda de la siguiente forma:

image.png

  • Para la derivada del denominadorimage.png debemos tomar en cuenta que esta expresión se compone en la suma de dos términos, en el que debemos derivar cada uno de los términos, como ya se ha explicado, la derivada de una constante es cero, por lo que la derivada de 50 es igual a cero, el segundo término es una potenciaimage.png y para derivar una potencia simplemente se baja el exponente, se le resta uno al exponente y se multiplica por la derivada de la base, que para este caso la deriva de t = 1. Finalmente la derivada del denominador nos queda de la siguiente la manera:

image.png

Ya habiendo encontrando estas derivadas podemos conseguir V' de la siguiente manera:

image.png

Para encontrar la derivada de la función del crecimiento demográfico P'(t) se aplica la regla básica de derivación del producto:

[UV]'= U'V+UV'

image.png

Como se nos pide encontrar el ritmo de cambio al cual está creciendo la población de bacterias cuando ha transcurrido un tiempo de 2 horas, solo se debe sustituir el valor de t=2 en la ecuación ya derivada de P'(t).

image.png

Análisis de los resultados obtenidos de la solución del ejercicio #87 de la sección 2,3 del libro de cálculo de Larson Volumen I

Como la población total de bacterias que se introducen en el determinado cultivo son 500 bacterias en un determinado lapso de tiempo, debemos de tener presente que existe un ritmo de cambio, es decir la cantidad de bacterias se introducen en el cultivo a una velocidad que varía con respecto al tiempo, es por ello que cuando se nos pide que encontremos el ritmo de cambio cuando han transcurrido 2 horas simplemente debemos encontrar la primera derivada de la ecuación del crecimiento demográfico P(t).

Una vez que se ha sustituido el valor de t=2 horas en la primera derivada de la ecuación demográfica nos damos cuenta que al cabo de las horas, la población de bacterias se está desplazando hacia el cultivo a una velocidad de 31,55 bacterias por cada hora transcurrida.

Conclusiones y aportes

[1] Para saber si la velocidad con la que se están introduciendo las 500 bacterias dentro del cultivo se debe seguir sustituyendo t cada vez más mayores en la ecuación de crecimiento demográfico de la población de bacterias, por ejemplo t=3 horas, t=4 horas, y así sucesivamente, si se observa que la velocidad disminuye es porque es una invasión de bacterias desacelerada, en el que a medida que pasa el tiempo la velocidad con la que se van incorporando las bacterias es cada vez menor, si por el contrario la velocidad aumenta es porque es una invasión al cultivo de manera acelerada.

[2] Una de las aplicaciones de la derivada que desde mi punto de vista tiene mayor impacto y utilidad es la aplicación del ritmo de cambio, ya que como podemos ver en este caso, para el crecimiento demográfico que está ocurriendo en el determinado cultivo, el poder saber si la velocidad es desacelerada o acelerada resulta útil para poder tomar acciones referentes al tiempo de reacción para determinado cultivo.

[3] A los amigos lectores les invito a comentar en este post acerca de si existe algún fenómeno natural con el que te identifiques y que puede ser estudiado y evaluado mediante la aplicación que tiene la derivada mediante el ritmo de cambio.

Referencia consultada y recomendada

Libro de cálculo con Geometría analítica. Autor: Larson y Hostetler. Volumen I


Nota: Las imágenes relacionadas a las ecuaciones utilizadas en este artículo fueron elaboradas por mi persona utilizando las herramientas de diseño de Microsoft Word 2011.

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Las derivadas e integrales, a que estudiante de ingeniería o ciencias no les provocaron pesadillas jaja. Ojala mis clases de cálculo se hubiesen enfocado más en las aplicaciones, quizás les hubiese visto su utilidad más temprano en la carrera. Este tipo de ejercicio como el que muestras no solo permiten fijar el concepto propio del cálculo sino también asociarlo con una aplicación específica, como el crecimiento bacteriano, que se puede extrapolar al crecimiento poblacional de otras especies, algo muy útil en diversas áreas. Saludos estimado @carlos84

Si realmente crearon pesadillas en lo que a mi concierne en particular en mis años universitarios, pero después que fui desarrollando ese tacto para estudiar de los libros y entender el objetivo del cálculo fue que yo mismo empece a ver múltiples aplicaciones y un significado real del cálculo como una herramienta fundamental para la ingeniería y la ciencia.

Gracias por comentar mi estimado amigo @emiliomoron. Saludos

¡Felicitaciones!



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Gracias amigos entropicos por el apoyo. Saludos

Recuerdo haber estudiado en una de las materias de la carrera de medicina (estadìstica) este tipo de ejercicios, gracias por compartir. Saludos desde Argentina!!

Gracias por su comentario @dra.karina, complacido de poder estimular los bonitos recuerdos de sus años de formación en la universidad. Saludos.

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Me recuerda a mis clases de cálculo, pasé algunos ratos con ese y otros libros de cálculo como el series Schaum y el Anton. No se si has escuchado de las guías del Prof. J. L. Quintero de la UCV, son excelentes, tiene todos los cálculos, ecuaciones diferenciales, cálculo vectorial, estadística y más, acá puedes verlas y descargarlas desde su página: https://www.joseluisquintero.com/docencia.php Gracias por compartir, un saludo amigo.

Es casi imposible no recordarle a un Ingeniero sus años de universidad en los que de seguro tenía que luchar en la comprensión de muchos ejercicios de funciones, limites, derivadas e integrales.

Referente a los libros, probé con muchos: serie schaum, leithold entre otros, pero sin lugar a dudas que con el que me termine quedando desde que fui estudiante hasta el presente en el que ejerzo la docencia universitaria en el área de cálculo es cálculo de Larson, tanto el volumen I y II.

No había escuchado del profesor al que haces mención, pero revisare el enlace que me proporcionas, de seguro me ayudará mucho para aplicar otras metodologías en mis clases.

Saludos @acont y gracias por comentar.