Sangaku (problem №2) - Сангаку (задача №2)

in Team Ukrainelast month

image.png

Задача наче як доволі проста - побудувати у квадраті п'ять кіл: одне з центром у центрі квадрата, а чотири інші дотикаються цього кола і двох сторін квадрата.

Будуємо квадрат ABCD.
Знаходимо центр квадрата, точка перетину його діагоналей - точка O.
Та проводимо пряму паралельну до основи, вона перетне бічну сторону в точці R - так знайдемо радіус кола вписаного в квадрат.
Будуємо відрізок RO і беремо точку K на об'єкті, тобто на цьому відрізку RO. Вона буде подорожувати від O до R. Так спочатку подумав я. Але тоді чотири кола будуть перетинатися...

Де ж знаходяться центри інших кіл?

image.png

Я ж цю задачу вже розв'язував...центр десь на діагоналі... згадав - коло це буде вписане в трикутник утворений двома сторонами квадрата та дотичною проведеною через точку де це коло перетинається з діагоналлю.

Ну а щоб знайти центр кола вписаного в трикутник, треба знайти точку перетину бісектрис його кутів(хоча б двох) це буде точка O1. Для знаходження радіуса цього кола досить провести ... а він вже є - це O1X

image.png

Ну а як будувати далі я трохи вище розповів.

А провівши через точку O1 прямі паралельні сторонам квадрата одержимо ще два центри кіл O2.O3. Можемо знайти точки перетину великого кола з діагоналями квадрата, але є інструмент циркуль (коло такого радіуса, як... і інше коло) А так як тут все симетричне, то радіуси й рівні))

image.png

Четвертий центр кола O4 знайдемо провівши паралельну пряму до сторони квадрата(до будь-якої сторони)))

image.png

Приберемо тепер всі допоміжні лінії - залишимо лише п'ять кіл та квадрат.

image.png

Але як видно точка К подорожує дуже близько до центру кола О - тому чотири кола й перетинаються. До якого ж положення має рухатися точка К на відрізку OR щоб чотири кола лише дотикалися.

Раз чотири кола дотикаються їх радіус має дорівнювати максимум 1/4 сторони квадрата.

Будуємо серединний перпендикуляр на бічній стороні квадрата, а потім ще один, на половині сторони квадрата - знайшли 1/4 сторони квадрата максимальний радіус для чотирьох кіл.

Проведемо діагональ AC - знайдемо точку перетину її з першим серединним перпендикуляром (центр кола),

image.png

Побудуємо коло з центром в т О та радіусом OF, воно перетне відрізок SO в т V і нею обмежить подорож точки К по відрізку SO.
Будуємо відрізок SF та вибираємо точку K на об'єкті SV.

image.png

Далі лишаємо лише квадрат з точкою К.

image.png

33GIF.gif