THEORETICAL MODEL OF THE NORMAL DISTRIBUTION// MODELO TEÓRICO DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

in STEMGeeks2 months ago (edited)

It is the most widely used theoretical model within Classical statistics. Its graph is that of a curve symmetrical to the central axis μ (Population arithmetic mean). Graph 1

Es el modelo teórico más utilizado dentro de la Estadística Clásica. Su gráfica es la de una curva simétrica al eje central μ (Media aritmética poblacional). Gráfico 1

The properties of the normal curve are as follows:

👉 Symmetrical character, the deviations in both directions of the μ axis are equal.

👉 The curve is infinite, it extends to infinity very close to the x axis, without cutting it.

👉 Mathematicians have shown that 68.27% of the values are in the interval (‐σ, +σ), that in the interval (‐2σ, +2σ) 95.45% are found and that in the interval (‐3σ, +3σ), 99.73% of the values are found.

Many of the variables that can be studied in biology, in particular in medicine, are governed by the normal theoretical distribution model. The height, body weight, temperature, and in general different characteristics of a population, are distributed forming a normal curve.

Las propiedades de la curva normal son las siguientes:

👉 Carácter simétrico, las desviaciones a ambos sentidos del eje μ son iguales.

👉 La curva es infinita, se extiende hasta el infinito muy cerca del eje x, sin cortarlo.

👉 Los matemáticos han demostrado que el 68.27% de los valores se encuentran en el intervalo (‐σ, +σ), que en el intervalo (‐2σ, +2σ) se encuentra el 95.45% y que en el intervalo (‐3σ, +3σ), se encuentra el 99.73% de los valores.

Muchas de las variables susceptibles de ser estudiadas en la Biología, en particular en la Medicina, se rigen por el modelo de distribución teórica normal. La estatura, el peso corporal, la temperatura, y en general diferentes características de una población, se distribuyen formando una curva normal.

¡Very important!

The values μ (population mean) and σ (population standard deviation), known as parameters of the normal distribution, are specific values for each distribution, so it individualizes or particularizes them.

For each value of μ the curve moves its central axis on the X axis; the variation of the σ value makes the height of the curve vary. A very important property of the theoretical normal distribution model is that it refers to the area under the curve of the normal distribution. Recall, in the interval:

👉 μ ±σ includes 68.27% of the area under the curve.

👉 μ ± 2σ 95.45% of the area under the curve is included.

👉 μ ± 3σ 99.73% of the area under the curve is included.

Let's look at this property in the following graph. Graph 2

¡Importantísimo!

Los valores μ (media poblacional) y σ (desviación estándar poblacional), conocidos como parámetros de la distribución normal, son valores específicos para cada distribución, por lo que las individualiza o particulariza.

Para cada valor de μ la curva mueve su eje central en el eje de las X; la variación del valor σ hace variar la altura de la curva. Una propiedad muy importante del modelo teórico de distribución normal es la que está referida al área bajo la curva de la distribución normal. Recordemos, en el intervalo:

👉 μ ±σ Se incluye el 68.27% del área bajo la curva.

👉μ ± 2σ Se incluye el 95.45% del área bajo la curva.

👉 μ ± 3σ Se incluye el 99.73% del área bajo la curva.

Veamos esta propiedad en el siguiente gráfico. Gráfico 2

Let's look at some simple examples:
If we know that the average age of a population of individuals (hivers) of the @StemSocial community who earn rewards from the #posh token for promoting their articles on #twitter is 30 years, with a standard deviation of 3 years, we can say that:

👉 68% (disregarding the 0.27) of that population of hivers, is between 27 and 33 years old: (30-3; 30+3) = (27; 33).

👉 95% are between 24 and 36 years old. (30‐2(3); 30+2(3)) = (24; 36).

👉 All of the Hivers are between 21 and 39 years old. (30‐3(3); 30+3(3)) = (21; 39).

That is, knowing that the variable follows a normal distribution, what are its population parameters μ and σ, and the property of the area under the curve, it is simple to determine the behavior of the population.

Veamos algunos ejemplos sencillos:

Si conocemos que la edad promedio de una población de individuos (hivers) de la comunidad de @StemSocial que ganan recompensas del token #posh por promocionar sus artículos en #twitter es de 30 años, con una desviación estándar de 3 años, podemos decir que:

👉 El 68% (despreciando el 0.27) de esa población de hivers, se encuentra entre 27 y 33 años: (30‐3; 30+3) = (27; 33).

👉 El 95% se encuentra entre 24 y 36 años. (30‐2(3); 30+2(3)) = (24; 36)

👉 La totalidad de Hivers se encuentran entre 21 y 39 años. (30‐3(3); 30+3(3)) = (21; 39)

Es decir, conociendo que la variable sigue una distribución normal, cuáles son sus parámetros poblacionales μ y σ, y la propiedad del área bajo la curva, es sencillo determinar el comportamiento de la población.

Another example:

We know that the height variable follows a normal distribution within the same population mentioned above and we also know that the height is 165 cms. with a standard deviation σ of 7.4 cms. We can infer that:

👉 68% of the population has a height between: (165.2‐7.4; 165.2+7.4) = (157.8; 172.6).

👉 95% of the population has a height between: (165.2‐2(7.4); 165.2+2(7.4)) = (150.4; 180.0).

👉 99% of the population has a height between: (165.2‐3(7.4); 165.2+3(7.4)) = (143.0; 187.4).

Another interpretation is as follows:

👉 The probability of finding a hivers whose height is between 157.8 and 172.6 is 0.6827.

👉 The probability of finding hivers whose height is between 150.4 and 180.0 is 0.95.45.

👉 The probability of finding hivers whose height is between 143.0 and 187.4 is 0.99.73.

Another practical application of the normal distribution model is the definition of normality ranges for a variable that follows this distribution model; based on the results obtained from repeated investigations into the behavior of the variable in question, the researcher defines the population parameters of the variable (mean μ and standard deviation σ) and establishes the ranges.

Otro ejemplo:

Sabemos que la variable talla sigue una distribución normal dentro de la misma población antes mencionada y además conocemos que la μ es de 165 cms. con una desviación estándar σ de 7.4 cms. Podemos inferir que:

👉 El 68% de la población tiene una estatura entre: (165.2‐7.4; 165.2+7.4) = (157.8; 172.6).

👉 El 95% de la población tiene una estatura entre: (165.2‐2(7.4); 165.2+2(7.4)) = (150.4; 180.0).

👉 El 99% de la población tiene una estatura entre: (165.2‐3(7.4); 165.2+3(7.4)) = (143.0; 187.4).

Otra interpretación es la siguiente:

👉 La probabilidad de encontrar un hivers cuya estatura se encuentre entre 157.8 y 172.6 es de 0.6827.

👉 La probabilidad de encontrar hivers cuya estatura se encuentre entre 150.4 y 180.0 es de 0.95.45.

👉 La probabilidad de encontrar hivers cuya estatura se encuentre entre 143.0 y 187.4 es de 0.99.73.

Otra aplicación práctica del modelo de distribución normal, es la definición de rangos de normalidad para una variable que siga este modelo de distribución; partiendo de los resultados obtenidos de reiteradas investigaciones en el comportamiento de la variable en cuestión, el investigador define los parámetros poblacionales de la variable (media μ y desviación estándar σ) y establece los rangos.

For example:

The qualification of a test or attitude test (widely used by psychologists), is based on the intervals of the normal curve in the following sense and establishes:

  • If the value obtained in the test is between μ-σ, μ+σ, it is considered approved.

  • If the value obtained in the test is between 0, μ-σ, it is considered disapproved.

  • If the value obtained in the test is between μ+σ, ∞, it is considered suitable.

Por ejemplo:

La calificación de un test o prueba de actitud (muy utilizados por los psicólogos), se apoya en los intervalos de la curva normal en el sentido siguiente y establece:

  • Si el valor obtenido en el test se encuentra entre μ‐σ, μ+σ, se considera aprobado.

  • Si el valor obtenido en el test se encuentra entre 0, μ‐σ, se considera desaprobado.

  • Si el valor obtenido en el test se encuentra entre μ+σ, ∞, se considera apto.

Well so far today's topic in an upcoming post I will be talking about the standard normal distribution, widely used in the field of statistics and I will give you an example of how to calculate it in the statistical program SPSS.

Until next time.👋👋👋

Bueno hasta aquí el tema de hoy en un próximo post les estaré hablando sobre la distribución normal estándar, muy utilizada en el campo de la estadística y les pondré un ejemplo de como calcularla en el programa estadístico SPSS.

Hasta la próxima.👏👏👏

Bibliography/Blibliografía


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Bayarre E, Casrañeda I, Lourdes A. Libro bioestadística. Módulo 3. Escuela Nacional Salud Pública. Páginas 12-31. 2011.

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  • Google Translate was used for the translation.

  • Para la traducción se utilizó traductor de Google.

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