Técnicas de derivación/Derivada de un producto de funciones//Derivative techniques/Derivative of a product of functions

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En este post queremos deducir la técnica para derivar el producto de dos de funciones reales de variable real, g y h.

In this post we want to derive the technique to derive the product of two real functions of real variable, g and h.


Esto es:

Dadas las funciones diferenciables g y h, con dominio en
CodeCogsEqn (1).gif (conjunto de los números reales), se quiere determinar y aplicar en ejemplos la Técnicas para derivar la función f definida por f(x)=g(x).h(x)

That is:

Given differentiable functions g and h, with domain in.
CodeCogsEqn (1).gif (set of real numbers), we want to determine and apply in examples the Techniques for deriving the function f defined by f(x)=g(x).h(x)


Comencemos // Let's start


Usemos la definición de derivada para deducir la técnica, esto es:// Let us use the definition of derivative to derive the technique, that is:


CodeCogsEqn (2).gif


Donde f(x)=g(x).h(x), por lo que nuestra expresión anterior, queda así:// Where f(x)=g(x).h(x), so our previous expression, remains as follows:


CodeCogsEqn (3).gif


Apliquemos la definición de producto de funciones en la expresión anterior:// Let us apply the definition of product of functions in the previous expression:


CodeCogsEqn (4).gif


Restemos y sumemos al numerador, la expresión g(x+Δx).h(x)// Let us subtract and add to the numerator, the expression g(x+Δx).h(x)


CodeCogsEqn (6).gif


Factorizando, este límite queda así:// Factoring, this limit looks like this:

CodeCogsEqn (7).gif


Aplicando suma de límites, nos queda así://Applying sum of limits, we are left with the following:

CodeCogsEqn (8).gif


Por ser g es diferenciable en x entonces g es continua en x, de donde:// Since g is differentiable in x then g is continuous in x, hence:

CodeCogsEqn (10).gif


De esta forma://In this way:


CodeCogsEqn (11).gif


Y así, la fórmula deseada es la siguiente:// And so, the desired formula is as follows:

CodeCogsEqn (12).gif


Vamos ahora un ejemplo de aplicación:// Let's go now to an application example:

Consideremos las funciones siguientes://Consider the following functions:


CodeCogsEqn (13).gif


Solución://Solution:


Derivemos las funciones h y g así:// Let us derive the functions h and g as follows:

CodeCogsEqn (14).gif


Luego apliquemos la fórmula obtenida para la derivada de un producto://Then let's apply the formula obtained for the derivative of a product:

CodeCogsEqn (15).gif


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Créditos

Usamos el Editor de Ecuaciones LaTeX para editar las ecuaciones.
El contenido es totalmente original.


Credits

We use the LaTeX Equation Editor to edit the equations.
The content is completely original.

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Posted with STEMGeeks



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