La Matemática en las Finanzas - 1era Parte

La historia de las matemáticas financieras y numéricas comienza en 1900, con la tesis de Louis Bachelier, Théorie de la Spéculation, que introdujo el movimiento Browniano para modelar los movimientos de los precios de las acciones y evaluar las opciones. Este notable trabajo no sólo modeló la aleatoriedad de los precios de las acciones en un marco matemático relacionado con la popular solución ganadora del Premio Nobel de Economía propuesta por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton en 1973, sino que también sentó las bases para algunos conceptos clave del análisis estocástico.

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El célebre paradigma de precios de Black-Scholes-Merton que tomó por asalto a la industria financiera en su momento, no se limita al modelo geométrico de movimiento Browniano de Samuelson. Sin embargo, se basa en una serie de supuestos poco realistas, como:

• las fluctuaciones de rendimiento gaussianas,
• la volatilidad constante,
• los tipos de interés sin riesgo,
• la plena liquidez,
• la ausencia de fricciones,
• la no repercusión en los precios de las operaciones grandes o frecuentes,

y así podemos seguir y no parar en una lista muy grande de supuestos. Además, los argumentos originales sobre la fijación de precios no se aplican directamente a los derivados con ejercicios no europeos, como las opciones americanas, sin otro nivel de sofisticación y aproximación.

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En las últimas decadas se han producido un rápido desarrollo de modelos y métodos estocásticos cada vez más realistas y sofisticados para la fijación de precios, la cobertura de riesgos y el hombre de riesgo en mercados de rápido crecimiento, con productos financieros más insondables.

En las finanzas modernas se están volviendo cada vez más técnicas, lo que requiere el uso de complicados modelos matemáticos, y que implican técnicas numéricas basadas en modelos teóricos resultados de subcampos de las matemáticas que van desde:

• análisis estocástico,
• teoría de sistemas dinámicos,
• ecuaciones integro-diferenciales no lineales,
• teoría de juegos,
• control óptimo,
• la programación dinámica al aprendizaje estadístico y la teoría de la información.

Situado en en la confluencia de las matemáticas aplicadas, la informática y la economía, la finanzas cuantitativa se distingue por su amplia gama de temas, y su interacción con un amplio espectro de dominios científicos.

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En próximas entregas, les seguire ampliando un poco más el tema, conversando un poco más de la historia las matemáticas aplicadas a las finanzas, así com de sus metodos de aplicación. Si alguno está interesado en leer y ampliar más el tema, los invito a leer los siguientes libros:

• A. Doucet, J. F. G. de Freitas and N. J. Gordon (eds.) Sequential Monte Carlo Methods in Practice. New York: Springer-Verlag, 2001.
• G. Allaire. Numerical analysis and optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation (Numerical mathematics and scientific computation). Oxford university Press, USA, 2007