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ENGLISH

28-09-2025 - Applied Mechanics - Mass and Moment of Inertia [EN]-[IT]
With this post, I would like to provide a brief introduction to the topic in question.
(lesson/article code: EX_LZ_22)

Image created with artificial intelligence, the software used is Microsoft Copilot

Introduction
Mass is a fundamental property of matter and is one of the seven fundamental physical quantities. The symbol for this quantity is m, the unit of measurement is the kilogram, and the symbol for the unit of measurement is the kg.
The moment of inertia, on the other hand, is a physical quantity associated with the resistance of a body to changing its rotational state around an axis.

The Center of Gravity

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The center of gravity is the geometric point of a body where all the mass can be considered concentrated for mechanical analysis purposes. Today, all 3D modeling software automatically calculates the centers of gravity for 3D shapes.

Center of a System of Concentrated Masses
Regarding the center of gravity of a system of concentrated masses, we can say that it is the geometric point where all the mass of the system can be considered concentrated for the study of translational motion.

Center of Mass
The center of mass of a distributed mass system is the point at which the total mass of a continuous body can be considered concentrated.

Moment of Inertia

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The moment of inertia is also known as inertial mass and is a physical quantity that quantifies the resistance of a body to changing its rotational state around a specific axis.

Axial moment of inertia of concentrated mass systems
The axial moment of inertia of concentrated mass systems is the sum of the products of each mass and the square of the distance from the axis of rotation.

Axial moment of inertia of distributed mass systems
The axial moment of inertia of distributed mass systems is the integral of the product of the density and the square of the distance from the axis.

Radius of gyration
The radius of gyration is the distance from the center of mass at which all the mass can be imagined concentrated to achieve the same moment of inertia.

Polar moment of inertia of concentrated mass systems
The polar moment of inertia of concentrated mass systems is the moment of inertia about an axis perpendicular to the plane of the system (usually the z-axis).

Polar moment of inertia of distributed-mass systems
This is the same as the polar moment of inertia of concentrated-mass systems, but for a continuous body.

Huygens' Theorem
This theorem is named after its creator, the Dutch mathematician, astronomer, and physicist Christiaan Huygens (1629-1695).
Huygens' theorem is important in mechanics because it allows us to calculate the moment of inertia of a body with respect to an axis parallel to another axis for which the moment of inertia is known. This calculation methodology significantly simplifies the analysis of rotational motion.
The mathematical formula is shown below:

Where:
I = moment of inertia
IG = moment of inertia about the center of gravity
M = total mass
d = distance between the two axes

Lagrange's theorem for the polar moment of inertia
This theorem is also known as the perpendicular axes theorem.
Lagrange's theorem for the polar moment of inertia states that the polar moment of inertia about a point is equal to the sum of the moments of inertia about the orthogonal axes passing through that point. The mathematical formula is as follows:

Where:
IP = polar moment of inertia
Ix = moment of inertia about the x-axis
Iy = moment of inertia about the y-axis
The formula above expresses that the polar moment of inertia is the sum of the moments of inertia about the orthogonal x- and y-axes.
Conclusions
Huygens' theorem simplifies moment of inertia calculations, making the analysis of mechanical systems in real-world contexts more accessible. This theorem is used in machinery design, to analyze the motion of celestial bodies, and to assess the rotational stability of automobiles.
Lagrange's theorem is useful in mechanical design, especially for cross-sections subject to torsion. However, especially in combination with Huygens' theorem, it allows for the calculation of moments of inertia for axes not passing through the center of gravity, extending its usefulness to even more complex calculations.

Question
Did you know that one of the first practical applications of Huygens' theorem was in mechanical engineering, specifically in the study and design of pendulums and grandfather clocks?
Did you know that, in addition to this, Christiaan Huygens's theorem (1629–1695) provided a method for calculating the behavior of rotating systems such as mills or balance wheels?

ITALIAN

28-09-2025 - Meccanica Applicata - Massa e momento di inerzia [EN]-[IT]
Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto
(codice lezione/articolo: EX_LZ_22)

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot

Introduzione
La massa è una proprietà fondamentale della materia ed è una delle 7 grandezze fisiche fondamentali di cui il simbolo della grandezza è m, l’unità di misura è il kilogrammo ed il simbolo dell’unità di misura è il kg.
Il momento di inerzia, invece, è una grandezza fisica associata alla resistenza di un corpo a cambiare il suo stato di rotazione attorno a un asse.

Il baricentro

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Il baricentro è il punto geometrico di un corpo in cui si può considerare concentrata tutta la massa per scopi di analisi meccanica. Oggi tutti i software di modellazione tridimensionale calcolano in automatico i baricentri delle forme tridimensionali che si realizzano.

Baricentro di un sistema a masse concentrate
Per quanto riguarda il baricentro di un sistema a masse concentrate possiamo dire che è il punto geometrico in cui si può considerare concentrata l’intera massa del sistema per lo studio del moto traslatorio.

Baricentro di un sistema a massa distribuita
Il baricentro di un sistema a massa distribuita è il punto in cui si può considerare concentrata la massa totale di un corpo continuo.

Momento d'inerzia

immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Napkin.ai

Il momento di inerzia è noto anche come massa inerziale ed è una grandezza fisica che quantifica la resistenza di un corpo a cambiare il suo stato di rotazione attorno a un asse specifico.

Momento d'inerzia assiale di sistemi a masse concentrate
il momento d’inerzia assiale di sistemi a masse concentrate è la somma dei prodotti tra ogni massa e il quadrato della distanza dall’asse di rotazione.

Momento d'inerzia assiale di sistemi a massa distribuita
Il momento d'inerzia assiale di sistemi a massa distribuita è l’integrale del prodotto tra la densità e il quadrato della distanza dall’asse.

Raggio giratore
Il raggio giratore è la distanza dal centro di massa alla quale si può immaginare concentrata tutta la massa per ottenere lo stesso momento di inerzia.

Momento d'inerzia polare di sistemi a masse concentrate
Il momento d'inerzia polare di sistemi a masse concentrate è il momento di inerzia rispetto a un asse perpendicolare al piano del sistema (di solito l’asse z).

Momento d'inerzia polare di sistemi a massa distribuita
Questo è la stessa cosa del momento d'inerzia polare di sistemi a masse concentrate ma per un corpo continuo.

Il teorema di Huygens
Il nome di questo teorema deriva dal suo ideatore il matematico, astronomo e fisico olandese, Christiaan Huygens (1629-1695)
Il teorema di Huygens è importante in meccanica perché permette di calcolare il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse parallelo a un altro per il quale il momento di inerzia è noto. Questa metodologia di calcolo semplifica in maniera rilevante l’analisi del moto rotazionale.
Qui di seguito è riportata la formula matematica:

Dove:
I = momento di inerzia
IG= momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico
M = massa totale
d = distanza tra i due assi

Il teorema di Lagrange per il momento d'inerzia polare
Questo teorema è noto anche come il teorema degli assi perpendicolari.
Il teorema di Lagrange per il momento d'inerzia polare dice che il momento d'inerzia polare rispetto a un punto è uguale alla somma dei momenti di inerzia rispetto agli assi ortogonali passanti per quel punto.
La formula matematica è la seguente:

Dove:
IP = momento d'inerzia polare
Ix = momento d’inerzia rispetto all’asse x
Iy = momento d'inerzia rispetto all’asse y
La formula riportata qui sopra esprime che il momento d'inerzia polare è la somma dei momenti d’inerzia rispetto agli assi ortogonali x e y.
Conclusioni
Il teorema di Huygens semplifica i calcoli del momento di inerzia rendendo più accessibile l’analisi di sistemi meccanici in contesti reali. Questo teorema viene usato nella progettazione di macchinari, per analizzare il moto di corpi celesti e per valutare la stabilità rotazionale delle automobili.
Il teorema di Lagrange è utile nella progettazione meccanica, soprattutto per sezioni soggette a torsione, ma soprattutto in combinazione con il teorema di Huygens, permette di calcolare i momenti di inerzia per assi non passanti per il baricentro, estendendo la sua utilità a calcoli ancora più difficili.

Domanda
Sapevate che una delle prime applicazioni pratiche del teorema di Huygens è stata nel campo dell’ingegneria meccanica in particolare nello studio e nella progettazione di pendoli e orologi a pendolo?
Sapevate che oltre a questo, il teorema di Christiaan Huygens (1629-1695), fornì un metodo per calcolare il comportamento di sistemi rotanti come mulini o meccanismi a bilanciere?

THE END