Bienvenidos estimados lectores, en esta ocasión abordaremos la construcción de poliedros regulares mediante el programa SketchUp. Ya anteriormente vimos como podíamos modelar algunos poliedros radiales y cuñas mediante las herramientas que nos ofrece este programa de modelado tridimensional.

Los poliedros regulares son un caso particular de poliedros donde todas sus aristas y caras son iguales. Seguramente el poliedro regular más conocido por las personas es el cubo, el cual posee seis (6) caras y ocho (8) aristas, las cuales son similares entre sí. Así mismo, tenemos también los tetraedros, octaedros, icosaedros, etc.

Con el fin de aprender a comunicarnos en el lenguaje tridimensional tenemos a nuestra disposición esta herramienta computacional de diseño 3D sencilla y fácil de usar, con la cual podemos afianzar y poner en práctica nuestro desarrollo de la comprensión espacial y el ingenio a través del modelado de cuerpos geométricos de la Geometría Descriptiva.

Uso de SketchUp

Abriremos el programa SketchUp y como primer paso usual desactivaremos la vista de los ejes de referencia (rojo, verde y azul) mediante la opción Ver->Ejes. Para una mejor visualización de lo que se construye, la cual incluya las aristas que no poseen visibilidad o cuya vista está siendo obstruida, podemos ir a Ver->Barras de herramientas->Estilos y seleccionar “Sólidos”.

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Cabe destacar que el programa por defecto situará la mayoría de las líneas y superficies que creemos sobre el plano horizontal (dado por los ejes verde y rojo).

Tetraedro

Este poliedro posee cuatro (4) caras triangulares similares. Similar al concepto de la altura de la pirámide en la anterior publicación, tenemos la tetraaltura, la cual es la distancia desde cualquier vértice del tetraedro hasta el centro geométrico de la cara opuesta. Para construir un tetraedro con las herramientas que nos ofrece el programa SkecthUp nos basamos en la la información que poseemos: todas las caras son triángulos, para ello procedemos a crear uno mediante la herramienta “Polígono”, introduciendo el número 3 para fijar el número de lados.

Seguidamente, mediante la herramienta “Línea” crearemos líneas que van desde cada vértice hasta el punto medio de la arista opuesta, el cual podremos encontrar a situar el cursor cercano al mismo cuando notemos que este se torna azul claro.

Al realizar esto como se nota en la imagen, hemos encontrado el centro geométrico del triángulo. Luego borraremos las líneas que llegan hasta el punto medio de cara lado del triángulo, hasta obtener lo siguiente:

Lo único que nos queda por hacer es usar la herramienta “Mover” para seleccionar el punto de unión de las tres líneas verticalmente hacia arriba, esto creará las tres superficies laterales del tetraedro de manera automática:

El único problema sería saber que altura debemos desplazar verticalmente hacia arriba este vértice para cumplir la condición de poliedro regular. No podemos establecer una distancia arbitraria porque no estaríamos cumpliendo con las condiciones (todas las aristas y las caras deben ser iguales entre sí). Por ello, mediante trigonometría podemos hallar esta distancia necesaria (tetraaltura):

Donde “a” es la longitud de cualquier arista del tetraedro. El lado del triángulo medido en el programa nos da 4,867 unidades de longitud. Aplicando esta fórmula obtenemos un valor de altura del tetraedro de 3,974 unidades. Al desplazar este vértice central hacia arriba, podemos introducir esta distancia y pulsar Enter.

No olvidemos que al realizar lo anterior no existe o estamos dejando al tetraedro sin una cara inferior, por lo que debemos crearla nosotros remarcando una de las aristas inferiores mediante la herramienta “Línea”. De esta manera tenemos el tetraedro listo e incluso podemos “decorarlo” un poco colocándole algún color a las caras, estableciendo algún estilo de dibujo o visualización (Ventana->Estilos…), sombras (Ventana->Sombras) o importando imágenes (Archivo->Importar…):

_{Tetraedro regular en SketchUp. | Se utilizó estilo de dibujo “Aglomerado con rotulador fino”.}
Podemos verificar el poliedro regular midiendo la longitud de todas sus aristas y comprobando que todas miden lo mismo.

Cubo/Hexaedro

El hexaedro o cubo, es un poliedro regular muy sencillo, solo basta crear un cuadrado de lado “a” y luego mediante la herramienta “Empujar/Tirar” se extrude la superficie del cuadrado para crear un cuerpo geométrico de tres dimensiones, se procede a introducir la longitud “a” y mediante la tecla Enter se termina de crear el cubo al establecer una distancia de extrusión igual al lado del cuadrado base.

Octaedro

El octaedro es un poliedro regular con ocho (8) caras triangulares, doce (12) aristas y seis (6) vértices. El octaedro es bastante más intrincado que el tetraedro y modelarlo podría implicar recurrir a un proceso complicado y rebuscado. Sin embargo, si utilizamos el ingenio podemos encontrarnos con alguna manera que nos facilite el proceso. Existe una forma de modelar el octaedro en SketchUp la cual yo llamo “escultura” porque se basa en “esculpir” el octaedro a partir de un “bloque”. La simplificación se basa en que, si se te hace complicado crear el octaedro a partir de la nada, seguramente puedas pensar “fuera de él” mediante un cuerpo geométrico simple que sea capaz de envolverlo por completo (un “bloque” o prisma rectangular) y de esta manera tienes una base o estructura de la cual partir y puedes modificarla hasta llegar a la forma deseada.

De acuerdo a lo anterior, fijaremos nuestro objetivo en modelar un octaedro de “5” unidades de lado. Para conocer las dimensiones de nuestro “bloque”, debemos primero entender la geometría del octaedro. Si conocemos la longitud “a” de sus aristas, podemos calcular la altura necesaria de nuestro bloque para que pueda contener el octaedro en su totalidad.

Esta altura “h” representa la longitud vertical de nuestro bloque a “esculpir”. Por lo tanto, nuestro bloque tendrá como base un cuadrado de 5 unidades de lado y su altura será de 7,071 unidades.

El proceso para “esculpir” el octaedro es el siguiente:

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1. Lo que haremos será líneas que unan todos los puntos medios de las líneas verticales del bloque.

2. Luego buscamos el centro geométrico tanto de la cara superior como de la cara inferior.

3. Ya conocemos la ubicación de los vértices superior e inferior del octaedro. Uniremos estos vértices con los vértices intermedios del octaedro dados por las líneas creadas en el paso N°1.

4. Borraremos las líneas de sobra para dejar al descubierto las superficies (caras) del octaedro que hemos creado en el paso N°3.

Y tenemos listo nuestro octaedro de 5 unidades por arista. Podemos incluso agregar algún color, textura o imágenes a sus superficies, el programa SketchUp está optimizado para conseguir vistas atractivas desde el punto de vista arquitectónico e incluso artístico:

_{Octaedro regular en SketchUp. Posee 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. | Se utilizó estilo de dibujo “Trazos de pincel sobre lienzo”.}
De esta manera, mediante el ingenio hemos podido modelar este cuerpo geométrico tridimensional sin necesidad de recurrir a procedimientos rebuscados, solo necesitamos crear un bloque y ciertas líneas.

Dodecaedro e Icosaedro

El dodecaedro es un poliedro regular que consta de doce (12) caras, las cuales son todas pentagonales. El icosaedro posee treinta (30) caras y son todas triangulares. Modelar estos poliedros mediante SketchUp es bastante complicado, de hecho, estuve pensando en alguna manera simple de modelar el dodecaedro sin recurrir a complicados rebatimientos de caras y al no encontrar una manera práctica decidí no incluirlo en esta publicación, lo mismo para el icosaedro.

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Para finalizar, cabe destacar que en el estudio de la Geometría Descriptiva el estudio de estos cuerpos tridimensionales los cuales a su vez representan un tipo específico de Sólidos dentro de la rama de los Poliedros, se hace con el objetivo de aprender de sus características y particularidades geométricas, ya que luego de su estudio como cuerpo en el espacio, se proceden a utilizar los procedimientos constructivos de la Geometría Descriptiva para representarlos en el plano (lápiz y papel) a través de la doble proyección ortogonal. Recomiendo al lector consultar el material recomendado donde podrá encontrar algunos artículos referentes a dichos procedimientos constructivos, como por ejemplo encontrar la intercepción entre una recta y un plano en la doble proyección ortogonal y encontrar la recta perpendicular común entre dos rectas en el espacio.

En la próxima publicación estaré abordando el modelado mediante SketchUp de algunos cuerpos redondos, como lo son por ejemplo el cilindro, el cono, la esfera, y algunos casos particulares de estos.

Aportes de esta publicación

Se muestra cómo podemos desarrollar nuestra capacidad para comunicar ideas en el ámbito tridimensional a través del modelado de cuerpos geométricos como lo son los poliedros regulares con el programa SketchUp. Esta tarea nos puede ayudar a mejorar nuestra comprensión espacial y adquirir destreza en la construcción de estos sólidos en el espacio previo a su construcción en el plano donde se requiere mayor capacidad de abstracción, comprensión espacial y emplear procedimientos constructivos de la doble proyección ortogonal.

Referencias Bibliográficas

•Osers et al (2012). Estudio de Geometría Descriptiva (14va Edición). Editorial Torino. Caracas. (P. 123, 126-145)._{Fuente para consulta (doceava edición)}

Material recomendado

•Di Pietro, Donato (1985). Geometría Descriptiva. Editorial Alsina. Buenos Aires.

•Izquierdo Asensi, F (1957). Geometría Descriptiva. Editorial Paraninfo. Madrid.

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte I

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte II: rectas

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte III: algunos problemas de rectas

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte IV: planos

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte V: rectas características del plano

•Geometría Descriptiva mediante SketchUp Parte VI: intersección de planos

•Geometría Descriptiva: visibilidad de objetos 3D con la ayuda del programa SketchUp

•Geometría Descriptiva: la recta "Perpendicular Común" mediante SketchUp

•Geometría Descriptiva: modelado 3D de algunos poliedros mediante SketchUp

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Imágenes de autoría propia, realizadas mediante el programa SketchUp 8 y posteriormente editadas con Microsoft PowerPoint.

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Gracias por su atención.