Es verlangt ihm nach Algebra

in Deutsch D-A-CHlast month (edited)

@thatgermandude ist an folgender Aufgabe gescheitert.

Ein Teaser für Fortgeschrittene
Zu guter letzt möchte ich eine Aufgabe für alle die stellen, die bis hierhin gelesen haben und nur müde gähnen konnten: Beweise dass n^4 für jedes n Element N entweder auf eins, sechs, null oder fünf endet. Anders formuliert: warum hat n^4 nur zwei Restklassen modulo 5?

Ich bin an der Aufgabe selber gescheitert und kenne die Lösung nicht. Ich würde eine vollständige Induktion ansetzen, aber bis jetzt hilft mir das nicht weiter... Viel Spaß!

Macht @thatgermandude hier auf Fermat oder möchte er gerne eine Lösung wissen?

Egal, Herausforderung akzeptiert! ;)

Für jede natürliche Zahl n, endet n4 stets auf 0, 1, 5 oder 6

Den entscheidenden Tipp für meinen Beweis hat @thatgermandude mir schon geliefert. Wir werden den Modulorestklassenkörper K5 benutzen. Da 5 eine Primzahl ist handelt es sich beim K5 sogar um einen Galoiskörper.

Restklassenwas?

Modulorechnung ist im Prinzip Teilen mit Rest, nur dass man immer nur den Rest betrachtet.

Nehmen wir als Beispiel Modulo 7.

So ist zum Beispiel

30=2 mod 7.

Damit könnte man zum Beispiel berechnen welcher Wochentag in 30 Tagen ist. Da der Rest von 30 bezüglich 7 2 ist, müssen wir nur 2 Tage weiter zählen. Während ich schreibe ist gerade Freitag. Sprich in 30 Tagen ist Sonntag.

Das Beste ist mit Restklassenkörpern kann man sogar rechnen. Addition und Multiplikation ergeben immer das gleiche Ergebnis, sofern ich mit Zahlen rechne, die den selben Rest besitzen.

z.B. ist

81000=11000=1 mod 7,

da 8=1 mod 7.

Jetzt beweis doch endlich die Aussage

Im K5 können wir die Reste 0, 1, 2, 3, oder 4 haben.

  1. Sei n=0 mod 5.
    Es folgt:
    n4=04=0 mod 5

  2. Sei n=1 mod 5.
    Folglich gilt, dass
    n4=14=1 mod 5

  3. Sei n=2 mod 5.
    n4=24=42=(-1)2=1 mod 5

  4. Sei n=3 mod 5.
    n4=34=92=(-1)2=1 mod 5

  5. Sei n=4 mod 5.
    n4=44=(-1)4=1 mod 5

Wir können also nur den Rest 1 oder 0 bezüglich Modulo 5 haben. Folglich endet n4 stets auf 0, 1, 5 oder 6.

q.e.d.

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Unglaublich, in #de-stem ist was votebares! ;-)

Mein letzter #de-stem Post wurde übersehen^^

Das kann auch mal passieren. ;-P

heutzutage braucht man echt ne Datenbank für diese ganze Tagwirtschaft

Oh wow, ich wusste gar nicht dass man mit Restklassen so cool rechnen kann. Schon ein bisschen tricky -1=4 mod 5 zu setzen aber auf jeden Fall leicht zu verstehen. Sehr schöner Beweis, danke Queker!

ein kleiner Abzug in der B-Note, du hast nicht drauf hingewiesen dass sich das ganze ab n=5 wiederholt, find ich jetzt nicht super trivial.

Folglich endet n4 stets auf 0, 1 oder 6.

*5, aber das ist nur ein Rechtschreibfehler ohne Punktabzug ;)

Ich bin der Meister der Schusselfehler.

ein kleiner Abzug in der B-Note, du hast nicht drauf hingewiesen dass sich das ganze bei ab n=5 wiederholt, find ich jetzt nicht super trivial.

Ja, das Problem mit der Ausführlichkeit. Ich habe es nur kurz erklärt, dass nämlich jeder Rest quasi die selbe Zahl ist (z.B. -6=-1=4=9=14 ... mod 5).

Das wäre eine alternative Vorstellung zu "Teilen mit Rest". Deshalb heißt es übrigens auch Restklassen. -6=-1=4=9=14 ... mod 5 wäre eine sogenannte Äquivalenzklasse.

Wir haben damals glaube ich auch mehr über Äquivalenzklassen als über Restklassen geredet, vielleicht ist mir der Beweis deswegen so schwer gefallen.

Das schwierigste ist vermutlich die Beweisidee. Habs auch kurz mit Induktion probiert. Aber da bin ich auf das Problem gestoßen, dass ich auch hätte Fallunterscheidungen machen müssen und dann habe ich es gleich so gemacht. oder ich hätte mehrere ineinander geschachtelte Induktion gebracht. So viel zum Thema schöne Beweise ...

Mit Restklassen zu rechnen habe ich erst gelernt als ich mir die "Rechnenregeln" klar gemacht habe. Diese sind aber auch logisch, da man ja genauso wie in Körpern rechnen kann, falls es sich um eine Primzahl handelt. Das hast du indirekt auch in deinem Post angesprochem.

Das schwierigste ist vermutlich die Beweisidee.

Ist ja eigentlich immer so. Verstehen tue ich es ja auch, aber spätestens den -1 = 4 Schritt wär ich nicht draufgekommen und gerechnet mit Restklassen hab ich glaub ich auch noch nie. Das Wort Galoiskörper ist mir auch neu.

Wie auch immer du kannst auf jeden Fall jetzt sagen, dass du einen Beweis in Minuten, vllt einer knappen Stunde geschafft hast an dem ich mir 15 Jahre lang die Zähne ausgebissen hab, mir ist das Ding auch erst letztens wieder eingefallen, ich war jetzt nicht 15 Jahre konstant dran. Trotzdem Respekt!

und nochmal zur Vollständigkeit. Du hast vor dem Beweis sehr schön erklärt dass 6^4=1^4 mod 5 ist, aber so ein Beweis wird ja immer geschlossen betrachtet. Ich hätte die beiden Zeilen für n=5 und n=6 noch erwartet damit man direkt sieht dass es sich wiederholt oder halt einfach der Hinweis an der Stelle dass es sich ab hier wiederholt.

Hätte ich für die Anschaulichkeit machen können. Wenn es interessiert, der kann es ja hier in den Kommentaren lesen.

Mathematisch ist es aber nicht notwendig. Du weißt ja Mathematiker sind ein fauls Völklich.

n=6 ist ja n=1 mod 5. Es gibt ja nur die Reste 0..4 und alle anderen "Zahlen" sind ja kongruent zum entsprechenden Rest.

ja, ich sage ja nur dass du das im Beweis erwähnen musst.

Im K5 können wir die Reste 0, 1, 2, 3, oder 4 haben.

es hört sich fast so an als würdest du hieraus begründen dass du nur n=0 bis n=4 betrachtest und nicht aus der Tatsache dass 0^4=5^4=10^4... mod 5.

Jetzt wo ich drüber nachdenke hastt du vielleicht Recht du sagt ja du befindest dich in Körper mit 5 Elementen also musst du vielleicht auch echt nur die 5 Elemente betrachten....

genau, mehr Reste bzw. Klassen gibt es nicht^^

nicht mal meckern darf man hier... :P

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