Técnicas de derivación/ Derivada de la función identidad

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Recordemos que la función identidad se define como función polinómica de grado 1, esto es: f(x)= ax1 donde a=1 y x1=x; esto significa que nuestra función queda simplificada a la siguiente forma: f(x)=x, siendo su dominio CodeCogsEqn(42).gif (el conjunto de los números reales).


Es importante destacar que la gráfica de la función identidad f(x)=x es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas y divide el I y III cuadrante en dos regiones congruentes respectivamente.


Se hace necesario enfatizar que la pendiente de esta recta es 1, ya que si tomamos cualquier par de puntos en su trayectoria y aplicamos la fórmula de la pendiente, esta resultará ser 1.


Veamos la gráfica de f(x)=x


Para la gráfica de esta función nos auxiliaremos con Desmos Calculadora Gráfica


Función Identidad.jpg


Recordemos de acuerdo a La interpretación Geométrica de la Derivada que la derivada de una función en un punto dado viene siendo la pendiente de la recta tangente al gráfico de esa función en ese punto.
Esto es:

CodeCogsEqn(43).gif

De lo anterior se deduce que la derivada de la función identidad es 1 en cualquier punto x0 en el dominio de esta función.


Vamos a demostrarlo:

CodeCogsEqn(44).gif

De acuerdo a la definición de nuestra función f(x)=x, para todo x en su dominio, se concluye que:

CodeCogsEqn(49).gif


Y de igual manera:

CodeCogsEqn(50).gif


Por lo cual:

CodeCogsEqn(51).gif


De esta manera validamos lo que se dijo al comienzo y afirmamos que, en general, la derivada de una función identidad es 1.


Veamos algunos ejemplos

Si:
f(x)= x entonces f´(x)=1
g(z)= z entonces g´(z)=1
h(w)=w, entonces h´(w)=1


En el caso de t(x)= x+3, por ejemplo, sigue siendo la función identidad trasladada verticalmente 3 unidades hacia arriba en el plano cartesiano, por lo tanto su derivada es 1.


En general, la derivada de la función f(x)= x+a (siendo a positivo o negativo), es 1.


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Créditos

Usamos el Editor de Ecuaciones LaTeX para editar las ecuaciones.
Desmos y PawerPoint para editar la gráfica.
El contenido es totalmente original.



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