La integral indefinida de la función Valor Absoluto

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El objetivo de este post es mostrar deductivamente como se desarrolla la integral idefinida de la función Valor Absoluto a través de un ejercicio particular que radica en calcular la siguiente integral:

$\int \left (| 1+x \right |+\left | 1-x \right |)dx$

Antes de desarrollar dicha integral, recordemos la función Valor Absoluto de un número real x:
$\left | x\right |=\left\{\begin{matrix} x\: si\: x\geq 0\\ -x\: si\: x< 0\end{matrix}\right.$

Apliquemos dicha definición a nuestra función integrando para determinar los intervalos en los cuales ella esta definida como "mayor o igual a 0" o "menor que 0".

Veamos:

$\left | 1+x \right |=1+x, \: si\: 1+x\geq 0\rightarrow x\geq -1$

$\left | 1-x \right |=1-x\: si\: 1-x\geq 0\rightarrow x\leq 1$

Esto es:

$\left | 1+x \right |+\left | 1-x \right |=1+x+1-x=2$

Si x se encuentra en la intersección de los intervalos [-1,+∞) y (-∞,1]=[-1,1]

Por lo tanto:

$\int \left (| 1+x \right |+\left | 1-x \right |)dx$
$=\int 2dx=2x +C$

Si x se encuentra en el intervalo (-∞, -1)
$\left | 1+x \right |=-1-x,\: \: y\: \left | 1-x \right |=1-x$

De esta manera:

$\int \left (| 1+x \right |+\left | 1-x \right |)dx$

$=\int ((-1-x)+(1-x))dx=\int -2xdx=-x^{2}+C$