Interpretación geométrica de la Derivada de una función en un punto

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En los post anteriores hemos tratado temas sobre Límite de una función en un punto, Límites unilaterales, Continuidad de una función, Límites infinitos, Límites en el infinito, y Límites Infinitos y Límites en el Infinito/ Ejemplo de aplicación.


En este post vamos a interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto para luego definirla como un límite.


Comencemos


En el siguiente gráfico estamos considerando una función f(x) continua en todo su dominio en el plano R2 y una recta secante L que la intercepta en los puntos P y Q.

Interpretacion geometrica de la derivada 1.png


Construyamos a partir de ella un triángulo rectángulo usando como vértices los puntos ya citados.

Interpretacion geometrica de la derivada 2.png


En el triángulo se identifican las longitudes de los catetos: Δy=y-y1 y Δx=x-x1

Interpretacion geometrica de la derivada 3.png


Calculemos la pendiente de la recta secante L, la cual denotaremos msec.


CodeCogsEqn(28).gif


Esto es equivalente a:

CodeCogsEqn(27).gif


Hagamos abstracción e imaginemos que el punto P se mueva en plan de acercarse al punto Q, es decir: P → Q. Cuando esto ocurre, la recta secante L se moverá, en este caso hacia la izquierda, trazando un haz de rectas cuya posición depende del punto P el cual se está moviendo hacia el punto fijo Q.

Interpretacion geometrica de la derivada 4.png


De esta manera, el punto P se aproxima arbitrariamente al punto Q y consecuentemente la recta L tiende a ser la recta tangente al gráfico de f en dicho punto. Lo cual es equivalente a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante al gráfico de la función f en el punto P.
Lsec → Ltan

Consecuentemente, cuando eso ocurre Δx=x-x1 → 0, ya que al aproximarse P hacia Q los valores de x y x1 tienden a ser iguales.
De esta manera Δx →0 cuando Lsec → Ltan.
De lo anterior se intuye que la pendiente de Ltan consiste en límite cuando Δx →0 de la pendiente de Lsec.
Esto es:

CodeCogsEqn(29).gif


Pero los valores del numerador denominador de esta expresión pueden ser sustituidos siguiendo los indicadores de la gráfica:

Interpretacion geometrica de la derivada 5.png


De tal forma que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en el punto x1 es:

CodeCogsEqn(30).gif


Veamos un ejemplo:

Se quiere hallar la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x)=x3+3x2+1 en el punto x=5

Solución:

Para resolver este problema vamos a utilizar la fórmula obtenida anteriormente para el cálculo de la pendiente de la recta tangente al gráfico de
f(x)=x3+3x2+1 en el punto x1=5

Veamos:

CodeCogsEqn(32).gif


CodeCogsEqn(33).gif


CodeCogsEqn(34).gif


CodeCogsEqn(35).gif


Este resultado indica que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f(x) en el punto x=5 es 105.

Si generalizamos la expresión

CodeCogsEqn(36).gif
Para cualquier valor x en el dominio de la función, nos queda así:

CodeCogsEqn(37).gif
Esta fórmula nos va a permitir obtener la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función continua en cualquier punto de su dominio.


Si desarrollamos este límite para la función que hemos venido trabajando, este es el resultado:

CodeCogsEqn(38).gif


Para comprobar este resultado sustituimos la x por 5 y obtenemos el valor anterior.

CodeCogsEqn(39).gif


Derivada de una funcion

Durante el proceso que hemos venido desarrollando hemos logrado definir la pendiente de la recta tangente al gráfico de una función f(x) en cualquier punto de su dominio, pues resulta que esa pendiente es definida como la derivada de esa función y se denota así:

CodeCogsEqn(40).gif


De tal forma que si f(x)=x3+3x2+1 entonces su función derivada es: f´(x)=3x2+6x y su derivada en el punto x=5 es: f´(5)=3.52+6.5=105.

Con este resultado terminamos este post en el siguiente seguiremos tratando el tema. Espero que sea de su agrado utilidad.

Créditos

Usamos el Editor de Ecuaciones latex para editar las ecuaciones.
Paint para las gráficas
PawerPoint para editar las gráficas
El contenido es totalmente original.



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6 comments
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Derivado fue mi terror en la adolescencia.
Espero que tu artículo ayude a las personas que lo necesitan hoy :)
Gracias por compartir.
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