儿子在做教辅资料上的数学题（例题）时耗费了较长时间还没有算出结果（确切地说是答案有两个解，他只计算出来一个），于是我打算帮他看看。

(图源 ：pixabay)

题目是这样的：

设直线y=kx+b过y=3x-5与y=-2x+10的交点A，直线y=kx+b交y轴于点B，直线y=-2x+10交x轴于点C。若S△ABC=12，求直线y=kx+b的解析式。

虽然例题下面就有解答，但是我准备不去看解答，先自行分析并计算一下这个题目。

这题目乍一看很复杂，实际上一点也不简单（皮一下），涉及好多知识点，我们抽丝剥茧，慢慢分析。

若想题目解得好，画图功夫不可少，题目涉及好几条直线y=kx+b、y = 3x - 5、y = -2x + 10，但是仔细分析不难发现后面两个直线方程其实只是为了确定A、C两个坐标点，确定完坐标点后，这两个方程就可以领盒饭退场了。

确定A、C坐标点

那么如何确定连个坐标点呢？由题目可知，A是y = 3x - 5与y = -2x + 10的交点，所谓的交点，就是在这个位置上两个函数的x,y都相等。

亦即，交点A(x,y)是如下二元一次方程的解：

y = 3x - 5
y = -2x + 10

解方程嘛，小CASE，这里就不过多赘述了，解得x = 3, y = 4;，亦即点A坐标为(3, 4)。

同理，由直线y=-2x+10交x轴于点C，解得点C坐标为(5,0)

根据坐标点画图

好，现在我们已经确定A、C两个坐标点，然后我们根据坐标点来画图形。由题干直线y=kx+b交y轴于点B可知，B点处在Y轴上，那么B点到底在哪个位置呢？不同的位置可能有不同的计算结果呢。

根据分析，我们可以得出四种情况，分别为：

• 点B的纵坐标，在AC延长线与Y轴交点之上
• 点B的纵坐标，在点A纵坐标之上，在AC延长线与Y轴交点之下
• 点B的纵坐标，在点C纵坐标之上，在点A纵坐标之下
• 点B的纵坐标，在点C纵坐标之下

这四种情况覆盖了点B纵坐标的所有可能，且每种情况都可以对应相似的图形（具体位置无关紧要）。

因为我不太擅长用电脑画图，小伙伴们可以自己比划一下。（所以有时候纸笔也是很重要且方便的）

根据图形列出等式

有了图形以后，我们就可以根据图形列出等式。小伙伴可能会问，哪里有等量关系呀？

回头再看看题干，不难发现，等量关系的密码就是S△ABC=12。所以我们只需根据图形，列出△ABC的面积表达式，然后让其等于12，就可以啦。

如果我们画出图形，不能看出，△ABC并不是个规规矩矩的三角形，也没法做出直观且可计算的高。这时候就要发挥我们的图形组合拆分能力啦。

通过观察，做点A到Y轴的垂线（或到X轴的垂线），我们不难发现，各种情况中，△ABC的面积都可以通过组合图形（梯形、三角形加减）再减去三角形，来得到我们要求的三角形面积表达式。

然后令S△ABC=12，就可以通过等式，计算出相应的B点坐标啦。最终我们得出，符合条件的点B坐标为(0，-2)或(0， 22)。

算出y=kx+b的解析式

我们已经算出点B坐标为(0，-2)或(0， 22)，根据题意代入表达式，得出y=kx+b中，b为（-2，或22）。

在根据y=kx+b通过点A（3，4），我们就可以计算出当b = -2时，k值为2；b = 22时，k值为-6.

由此得出y=kx+b对应的解析式为：

y = 2x - 2
y =-6x + 22

即我们所要的答案，完美完成。

进一步思考（1）

解题过程中，我们画出四个图，为什么只解出两个b值？

在计算过程中，除了第一个图，其余三幅图都得出相同的结果，b = -2，对于我们列的三种情况（三幅图），b = -2明显不符合图二、图三的假设，只符合图四的情况。

所以图四才是正确的图形。但是三幅图却解出相同的b值，这仅仅是巧合吗？通过列S△ABC的表达式（组合分割图形），不难发现，如果辅助线做的正确，三个表达式可以以一致的形式呈现。

进一步思考（2）

一条斜线段AC，取Y轴上一点B，让三角形S△ABC面积为固定值的点B，有几个呢？

姑且就按我们题中的AC来，我们取AC与Y轴交点以下的几个点B，做点B到AC的垂线BD（亦即△ABC的高），我们不难看到，B点越往下，BD越长，S△ABC越大（可以做D到X轴垂线，看起来就一幕了然了）。

当B和AC与Y轴交点重合时，S△ABC最小（为零）。

同理，取AC与Y轴交点以上的几个点B，我们不难证出，B点在离AC与Y轴交点往上越远，S△ABC越大。

综合两种情况，我们不难得出，当B和AC与Y轴交点重合时，S△ABC=0，然后越远离这个交点，△ABC面积越大，所以固定面积的B值有两个，分别在AC与Y轴交点上边以及下边。

所以，这就是我们上边例题中解出两个B点且只有两个B点的缘故（不会有第三个啦）。

回头看列题的解法

为了省事，直接上照片：

它是怎么解的呢？算出点A点C的坐标大同小异，它竟然引入了一个点D，而且为了表示点D的坐标，竟然引入了分式。

原本就是100以内的加减法运算，竟然变成了极为复杂的分式运算，别人不知道，反正要我算，凭我的计算能力，肯定出错。

再有就是，它只考虑的三种情况，并没有考虑B在AC与Y轴交点之上的情况，只不过恰巧这样的做法，列出的S△ABC表达式是一样的，虽然得出了正确的结果，但是图是完全错误的。

结论

通过分析例题的答案，不难得出这答案涉三宗罪：

• 多引入一个点D，大幅增加了复杂度
• 引入分式计算，运算量及难度倍增
• 图形没考虑全面，纵然得出正确答案，但与图形不符

按它的做法，先不说图形对错的问题，就这一坨分式，计算上我觉得没半个小时我肯定算不出来（请尽情鄙视我这个两位数加减法还经常出错的选手）；而用我的方法，计算上5分钟时间足矣！

(图源 ：pixabay)

一个例题竟然有这么多问题，让人难以置信，所以什么优秀教辅资料，不过如此而已！

这让我想起一句话，尽信书不如无书，古之人不余欺也！多亏我先尝试做一下，不然直接看答案，就得懵圈。