@ydavgonzalez, Ejercicio del día 12/07/2024. Resolución.⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀

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      El usuario @ydavgonzalez bajo el lema El ejercicio del día propone problemas de índole matemática a ser resueltos por los lectores.
En esta ocasión trataremos sobre la resolución del problema del dìa doce de julio de 2024		      

 

 

 

   

Enunciado

 

 

       

¿Cuántos números de tres cifras existen cuya suma de cifras es un número de dos cifras?

   Este tipo de problemas se presta de forma natural a su resolución mediante la aplicación de la fuerza bruta .

Intentaremos la resolución analítica del ejercicio propuesto.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

       
Solución analítica

   No solucionaremos el problema original, sino otro problema relacionado, más sencillo ...

¿Cuántos números de tres cifras existen cuya suma de cifras es un número de una cifra?

La suma de las cifras de un número de tres cifras es como máximo 27, 9 + 9 + 9, de forma que la suma de las cifras de un número de tres cifras es un número de una o dos cifras.
Existen menos números de una cifra.

Estudiemos el problema en función del valor de la cifra de las centenas.

Sea c la centena correspondiente, u unidades y decenas d, han de sumar lo necesario para que el resultado total sea un número de una cifra.

 

  c  
  u + d  
1
0 ... 8
2
0 ... 7
...
...
9
0 ... 0

⠀⠀⠀⠀ _\|/_
⠀⠀⠀⠀ (o  o)
----oOO-{_}-OOo---

El número de formas de sumar n
con dos cifras es igual a n + 1
siendo n < 10

Como es posible deducir sin dificultad, sumando para las centenas, obtenemos como resultado la suma de las sumas
de los nueve primeros números naturales.

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

Solución
       

La serie de las sumas de los n + 1 primeros números naturales , la determinamos ya en otra ocasión ,

        n³ + 6n² + 11n + 6
sn = ―――――――――
6

 

La solución de nuestro problema,

990 - s8 = 900 - 165 = 735

 

Fuerza Bruta

   Utilizando Maxima ,

💻Sesión Maxima

(%i1) load ("stringproc")$

(%i2) strings: makelist (printf (false, "~d", i), i, 100, 999)$

(%i3) octets: maplist (string_to_octets, strings)$

(%i4) zero: string_to_octets ("0")[1]$

(%i5) sums: maplist (lambda ([x], lreduce ("+", x)), octets - zero)$

(%i6) apply("+", maplist(lambda ([x], is(x > 9)), sums));

(%o6)

165 false + 735 true


 

 

 

   

 

 

       

Amablemente, Maxima, nos informa de que, de los 900 números de tres cifras, la suma de todas sus cifras es un número de dos cifras en 735 de ellos y no lo es en otros 165.

Hecho, que podemos corroborar mediante la solución analítica del problema.

∎

 

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