Transformada Z inversa. Solución recurrente. Inverse Z Transform. A view to a recurrence.⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀
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p ≤ q
n ≥ q + 1
Entre los métodos utilizados para el cálculo de la transformada Z inversa se encuentra el método de división directa , que en el caso racional nos permite determinar de forma numérica la transformada inversa.
La división directa no es solo un método puramente numérico, con un poco de esfuerzo, permite determinar expresiones para la transformada inversa como una ecuación de recurrencia y en su forma analítica.
Cociente recurrente
Dados dos polinomios P(x) y Q(x),
P(x) = a0 + a1 x + ... + ap x p
Q(x) = b0 + b1 x + ... + bq x q
Consideremos el cociente que se obtiene al dividir estos polinomios escritos en el orden creciente de x. Si el cociente no es exacto, puede ser prolongado indefinidamente,
H(x) = c0 + c1 x + ... + cn x n
La sucesión formada por los coeficientes del cociente es una sucesión recurrente.
Para demostrarlo, detengámos el proceso de división en un término n , tal que, n ≥
q + 1,
P(x) = Q(x) ∙ H(x) + R(x)
Donde R(x) , resto de la división, contiene únicamente potencias mayores que n, al ser p ≤ q , el coeficente de xn en P(x) es cero y por lo tanto al ser en R(x) también cero, en el producto Q(x) ∙ H(x) ha de ser cero,
Q(x) ∙ H(x) = 0 ∙ xn
( b0 + b1 x + ... + bq x q ) ∙ ( c0 + c1 x + ... + cn x n ) = 0 ∙ xn
El coeficiente de xn ,
b0 cn + b1 cn - 1 + ... + bq cn - q
b0 cn + q + b1 cn + q - 1 + ... + bq cn
La sucesión formada por los coeficientes del cociente es, por lo tanto, recurrente de orden q .
b0 cn + q + b1 cn + q - 1 + ... + bq cn = 0
b1 bq
cn + q = - ―― ∙ cn + q - 1 - ... - ―― ∙ cn
b0 b0
Término general
El término general de la sucesión nos facilitará la transformada Z inversa del cociente de polinomios inicial.
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⠀⠀⠀⠀ _\|/_ Si en la ecuación recurrente introducimos una progresión geométrica, obtenemos una ecuación con los mismos coeficientes que la de la sucesión, que recibe el nombre de ecuación característica , de forma que las progresiones geométricas de razón las raíces de dicha ecuación satisfacen la recurrencia y por lo tanto son una base de la sucesión. La sucesión original es combinación lineal de las progresiones así determinadas, los coeficientes implicados serán constantes en el caso de raices simples y polinomios de grado no superior a la multiplicidad de las mismas en otro caso. Dada una sucesión recurrente un , con raíces αn de multiplicidad mn , podemos escribir, un = P1(x) α1 + ... + Pn(x) αnDonde los polinomios Pn(x) lo son de grado no superior a las multiplicidades mn . |
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sistema discreto
El término general de una sucesión recurrente es combinación lineal de las progresiones geométricas de razón las raíces de su ecuación característica.
La ecuación característica la obtenemos del denominador del cociente, función de transferencia, y como puede comprobarse sin dificultad, es satisfecha por las mismas raíces.
Los coeficientes, de la combinación lineal de las progresiones de las raíces, se determinan solucionando un sistema de q ecuaciones, grado del polinomio del denominador y orden de la recurrencia, que definimos con la misma cantidad de valores apropiados de la sucesión.
Podemos definir el siguiente procedimiento para determinar la transformada Z inversa de una función racional,
- Determinar las raíces del denominador del cociente de polinomios
- Construir el término general de la sucesión recurrente relacionada
- Con valores convenientes de la sucesión establecer los coeficientes del término general
Lo aquí expuesto facilita un método más para calcular la transformada Z inversa , en el caso de una función racional.
La recurrencia ⑴ permite la evaluación numérica de la transformada inversa.
Ejemplo de aplicación
Determinemos la transformada inversa de,
1
H(z) = ―――――――――――――――――
1 1
( 1 - ―― z -1 ) 2 ∙ ( 1 + ―― z -1 )
2 4
Las raíces de la ecuación característica ,
1 1
z1 = - ― z2 = ―
4 2
z2 de multiplicidad doble y z1 raíz simple.
Término general,
hn = A ∙ (- 1 / 4)n + ( B + C ∙ n) ∙ (1 / 2)n
Con tres términos de la sucesión, que podemos obtener por división directa, planteamos un sistema de ecuaciones que nos determinará los coeficientes del término general,
h0 = 1, h1 = 1 / 2, h2 = 9 / 16
A = 1 / 9, B = 8 / 9, C = 2 / 3
Transformada inversa,
hn = 1 / 9 ∙ (- 1 / 4)n + ( 8 / 9 + 2 / 3 ∙ n) ∙ (1 / 2)n
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p ≤ q
n ≥ q + 1
One of the techniques to evaluate the inverse Z transform is the long division numerical technique.
But long division is not only a numerical method, with a little extra effort we can get a recurrence relation and indeed the analytical expression of the inverse transform.
Recurrence relation
Consider a pair of polynomials P(x) y Q(x),
P(x) = a0 + a1 x + ... + ap x p
Q(x) = b0 + b1 x + ... + bq x q
Take the quotient on increasing powers of x,
H(x) = c0 + c1 x + ... + cn x n
The sequence of the quotient coefficients is a recurrence sequence.
Take the division process upto a term of order n , such that, n ≥
q + 1,
P(x) = Q(x) ∙ H(x) + R(x)
R(x) , division remainder, only on powers greater than n , p ≤ q implies that xn at P(x) is zero and also at R(x) , as we know yet, then the coefficient at the product Q(x) ∙ H(x) should be zero,
Q(x) ∙ H(x) = 0 ∙ xn
( b0 + b1 x + ... + bq x q ) ∙ ( c0 + c1 x + ... + cn x n ) = 0 ∙ xn
xn coefficient,
b0 cn + b1 cn - 1 + ... + bq cn - q
b0 cn + q + b1 cn + q - 1 + ... + bq cn
Whence the sequence of the quotient coefficients is a recurrence sequence of order q .
b0 cn + q + b1 cn + q - 1 + ... + bq cn = 0
b1 bq
cn + q = - ―― ∙ cn + q - 1 - ... - ―― ∙ cn
b0 b0
General term
The general term of the sequence is the inverse Z transform of the quotient of polynomials.
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⠀⠀⠀⠀ _\|/_ A geometric sequence satisfies the recurrence relation if the ratio is root of an equation with the same coefficients as the recurrence equation, this equation is named as the characteristic equation . The sequence is a linear combination of the geometric progressions that satisfy the characteristic equation , as coefficients we have simple constants or polynomials of degree not superior to the multiplicities of the roots. Given a recurrence sequence un , with roots αn of multiplicity mn , un = P1(x) α1 + ... + Pn(x) αnPolynomials Pn(x) of degree not superior to multiplicities mn . |
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discrete system
The general term of a recurrence sequence is a linear combination of the geometric sequences with ratios the roots of its characteristic equation.
A characteristic equation is defined by the denominator of the quotient, transfer function, both with the same roots.
The coefficients of the linear combinations are determined by means of suitable values of the sequence on a system of linear equations of q equations as the order of the recurrence relation.
As a resume, we could define the following steps, in order to evaluate the inverse Z transform of a rational function,
- Solve the denominator polynomial, characteristic equation, and get the ratios of some geometric progressions as its roots
- Build the sequence's general term
- Solve for the coefficients using suitable sequence's values
We have now another technique to evaluate the inverse Z transform .
The recurrence relation ⑴ allows for the numerical evaluation of the inverse transform.
An example
Find the inverse transform of,
1
H(z) = ―――――――――――――――――
1 1
( 1 - ―― z -1 ) 2 ∙ ( 1 + ―― z -1 )
2 4
Roots of characteristic equation ,
1 1
z1 = - ― z2 = ―
4 2
z2 of multiplicity 2 and z1 a simple root.
General term,
hn = A ∙ (- 1 / 4)n + ( B + C ∙ n) ∙ (1 / 2)n
Three terms of the sequence known, long división could be used, build a system of equations solving for the coefficients,
h0 = 1, h1 = 1 / 2, h2 = 9 / 16
A = 1 / 9, B = 8 / 9, C = 2 / 3
Finally, the inverse transform,
hn = 1 / 9 ∙ (- 1 / 4)n + ( 8 / 9 + 2 / 3 ∙ n) ∙ (1 / 2)n
∎
Media
Immanuel Giel, Public domain, via Wikimedia Commons
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