Tácticas  matemáticas.

a, b, c > 0

Demostrar

1/a³ + 1/b³ + 1/c³ + 3abc ≥ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

   Tenemos una desigualdad en la que intervienen funciones simétricas, las terceras potencias sobre los valores recíprocos .
Podemos establecer una relación entre los valores, α , y sus recíprocos, 1/α , vía las funciones simétricas unitarias , en .


x ³ − e1 x ² + e2 x e3 = 0

 

Construimos la ecuación con soluciones recíprocas,


y ³ − ( e2  / e3 ) y ² + ( e1  / e3 ) y − (1 / e3 ) = 0

 

Conocido el valor de las funciones simétricas podemos determinar el valor de las sumas de las terceras potencias , ∑1/p³ , mediante las identidades de Newton.


    3 e3² − 3 e1 e2 e3 + e2³
∑1/p³ = ――――――――――――
    e3³

 

Podemos expresar la desigualdad original como,


∑1/p³  +  3 e3  ≥  6


3 e3² − 3 e1 e2 e3 + e2³     
――――――――――――  +  3 e3   ≥  6
e3³     

 

 

   La siguiente desigualdad entre las funciones simétricas unitarias ,


n
en   ≥   (    ) emm / n
m

1  ≥  m  ≥  n

 

nos permite resolver el problema, expresando e1  y e2 en función de e3 ,


e1  ≥ 3 e31 / 3 

e2  ≥ 3 e32 / 3 

 

Sustituyendo y simplificando,


e3 + 1 / e3   ≥   2

 

Hemos transformado el problema original en una desigualdad que puede verificarse empleando las propiedades de las medias aritmética/geométrica, que es evidentemente cierta, de forma que queda demostrada la validez de la desigualdad bajo estudio.

 


Media


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