Teorema de Rolle / Rolle's Theorem

En el post anterior dejamos pendiente el siguiente ejercicio. // In the previous post we left pending the following exercise.

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Hallar los números críticos para la siguiente función: // Find the critical numbers for the following function:

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Primero hallamos F´(x) aplicando la regla de la cadena. // First we find F'(x) by applying the chain rule.

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Igualamos F´(x) a :// We equate F'(x) to :

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Esta igualdad se cumple si y solo si 2x-6=0 y no existe, si // This equality is satisfied if and only if 2x-6=0 and does not exist, if

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Desarrollemos // Let's develop

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Si 2𝑥+6=0 → 2x=-6 →𝑥=6/2→𝑥=3

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Luego 𝑥=3 es un número crítico para la función F // Then 𝑥=3 is a critical number for the function F

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Entonces la derivada de F no existe para los valores de x=0 y x=6 // Then the derivative of F does not exist for the values of x=0 and x=6.

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Finalmente, los números críticos de F, son://Finally, the critical numbers of F, are:
x=0, x=3 y x=6

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¿Pero, cuál es la importancia de estos números críticos? // But what is the importance of these critical numbers?

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¿Qué obtendremos al evaluar la función en estos números?// What will we get when we evaluate the function on these numbers?

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Obviamente, para x=3, conseguiremos el punto donde la recta tangente es horizontal al gráfico de la función F, y para el caso de x=0 y x=6 identificaremos los puntos donde la recta tangente al gráfico de F, no existe.

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Obviously, for x=3, we will get the point where the tangent line is horizontal to the graph of the function F, and for the case of x=0 and x=6 we will identify the points where the tangent line to the graph of F does not exist.

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Hagamos el gráfico de F, con la ayuda de la Calculadora gráfica Desmos.// Let's make the graph of F, with the help of the Desmos Graphing Calculator.

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La línea azul es la recta tangente al gráfico de F en el punto: (3, -2.8) // The blue line is the tangent line to the graph of F at the point: (3, -2.8)

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En los puntos (0,0) y (6,0) la recta tangente no existe, recuerde que las rectas verticales no tienen pendiente. // At the points (0,0) and (6,0) the tangent line does not exist, remember that vertical lines have no slope.

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Teorema de Rolle

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Este teorema no dice que si F es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el abierto (a,b) tal que F(a)=F(b)=0 entonces debe existir al menos un c en (a,b) tal que F’(c)=0

Rolle's Theorem

This theorem states that if F is a continuous function on a closed interval [a,b] and differentiable in the open (a,b) such that F(a)=F(b)=0 then there must exist at least one c in (a,b) such that F'(c)=0.

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Para el lector:

Verifica si se cumplen estas condiciones en el ejercicio que hemos venido desarrollando

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For the reader:

Check if these conditions are met in the exercise we have been developing.

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Créditos// credits

El post es totalmente original de la autora, el bosquejo de la gráfica de la función se hizo con la ayuda de la Calculadora gráfica Desmos ///The post is entirely original from the author, the sketch of the function graph was made with the help of Desmos Graphing Calculator.

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