MODELOS LINEALES Y SUS APLICACIONES EN LA ECONOMÍA

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Recomiendo leer, previamente, el siguiente post: FUNCIONES E IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES EN EL CONTEXTO DE LA ECONOMÍA///FUNCTIONS AND IDENTIFICATION OF VARIABLES IN THE CONTEXT OF THE ECONOMY

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Comencemos por definir previamente, cada una de estas funciones:

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Función Costo Total: C(x)= C.F + C.V

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Función Ingreso Total: I(x)=px

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Función Ganancia: G(x)=I(x)-C(x)

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Punto de Equilibrio.

Por ahora, vamos a manejarnos con estos tres modelos y comencemos con algunos ejemplos, aquí tenemos el siguiente problema:

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Los costos fijos para fabricar cierto articulo son de $ 300 a la semana y los costos totales para fabricar 20 unidades son de $ 410. Determinar la relación entre el costo total y el número de unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana?

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Solución:

Primero identifiquemos las variables:
x: es la cantidad de artículos producidos
y=C(x): representa el costo total de producir x cantidad de artículos.
Se sabe, por los datos del problema, que C.F.= 300 y el costo variable por producir 20 artículos es de C.V.= 410

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Y también se sabe que el modelo de costo es lineal, por ello, vamos a representarlo en el sistema de ejes coordenados en plan de hacernos una idea grafica del problema y así entenderlo mejor.

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Tracemos el sistema de ejes coordenados, el eje de las abscisas nos va a representar la cantidad x de artículos producidos, y el eje de las ordenadas Y representara el costo de producir esa cantidad x de mercancía.

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En estos problemas preponderamos el semieje positivo de las x, ya que lógicamente en estos problemas se trata de producción y venta de productos, no tiene sentido considerar valores negativos para la x.

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Cuando hablamos de Costo Fijo C.F. queremos decir que este es un costo permanente aun cuando no haya producción, una fábrica puede estar activa cierto tiempo y no estar produciendo, y en tal sentido su producción x es 0, pero sus gastos fijos mensuales, en este caso, es de 300. Por ello, el punto de coordenada x=0 y abscisa y=300 debe ir en la gráfica, lo llamaremos A= (0,300).

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Dice el problema que la producción de x=20 artículos tienen un costo fijo de y=410; entonces el punto B= (20, 410) también debe ser ubicado en el plano.

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Sabemos que el modelo de costo es lineal, en tal sentido trazaremos una semirrecta que inicia en el punto A y pasa por B.

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Así:

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Vemos en la gráfica la descripción del problema, en ella observamos que a medida que cuando x crece (aumenta la producción) y también crece (aumentan los costos de producción), obviamente se trata de una recta creciente.

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Falta la descripción algebraica de ese modelo, es decir la ecuación describe a esa recta, con ese objetivo, vamos a auxiliarnos con la ecuación Pendiente Intersección en el Origen: y=mx+b, que para nuestro caso es C(x)=mx+b

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De acuerdo a la gráfica b=300, por lo tanto, nuestra función costo, hasta ahora, es C(x)=mx+300. Falta obtener el valor de la pendiente m.

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Recordemos la fórmula de la pendiente, dados dos puntos P y Q por donde pasa una recta, entonces la fórmula de la pendiente viene dada por:

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En el problema que venimos desarrollando, tenemos dos puntos: A= (0,300) y B= (20,410), aplicando la fórmula de la pendiente:

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Finalmente, nuestro modelo funcional de costo es: C(x)=5,5x+300. Si queremos determinar el costo de fabricación de 30 artículos, sustituimos x=30 y calculamos C(30)=5,5.30 +300=165+300=465

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Es decir, el costo de producir 30 artículos es de $ 465.

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¿Si el fabricante decide vender su producto a un precio p=20,5, cual es el modelo que define a la función ingreso total?

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Recordemos que I(x)=px, en este caso, sustituimos p=20,5 en dicho modelo, resultando que: I(x)=20,5x

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Validemos nuestro modelo sustituyendo x=20, así: I(20)=20,5.20=410, lo cual es congruente con el problema planteado.

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Y ente caso, ¿cuál es el modelo de ganancia G(x) ? G(x)= I(x)-C(x)

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Sustituyendo los modelos de Ingreso y Costo anteriores, nos resulta: G(x)=20,5x-(5,5x+300)

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Eliminamos el paréntesis: G(x)=20,5x-5,5x-300

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Luego, nuestro modelo de ganancia es: G(x)=15x – 300

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Con este modelo, podemos determinar el número de unidades que se deben producir y vender a un precio p (en este caso 20,5) para que el emprendedor pueda obtener ganancias.

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Por ejemplo, si el productor fabrica y vende 20 artículos, ¿cuál será su ganancia?

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Para responder a esta pregunta, debemos calcular G(20)=15.20-300=300-300=0

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Esto le indica al productor que al producir y vender 20 artículos al precio 20, 5 dolores, no le produce ganancias, con ello solo recupera los costos. Pero, en este caso hemos llegado al Punto de Equilibrio, este punto es donde se igualan el ingreso y el costo. Es decir, punto de equilibrio es (20,410).

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Si queremos ver esto en la gráfica debemos ubicar dos puntos por donde pasa la recta de ingreso, uno de ellos es (20, 410) y el otro es (0,0) ya que el ingreso de 0 es I(0)=20,5.0=0.

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Veamos:

Para que el productor pueda ganar debe cumplirse que G(x)>0, es decir:
15x – 300>0

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Resolviendo la desigualdad, nos queda que: 15x >300 x >300/15 x >20

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Es decir, el productor deberá producir y vender 21 artículos o más para poder obtener ganancias.

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En el caso de que produzca y venda menos de 20 artículos tendrá perdidas.

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Esto sucede cuando 15x – 300<0

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La siguiente gráfica resume los resultados:

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Créditos:

El post es totalmente original de la autora.
Las gráficas fueron elaboradas con el apoyo de Geogrbra y Paint