Aplicación práctica del Teorema de Rolle.// Practical application of Rolle's Theorem.

En el post anterior quedamos pendiente con la verificación de las condiciones del Teorema de Rolle en el ejercicio planteado en esa oportunidad.

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In the previous post we were left pending with the verification of the conditions of Rolle's Theorem in the exercise presented in that opportunity.

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El ejercicio es el siguiente: // The exercise is as follows:

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Verificar las condiciones del Teorema de Rolle para la siguiente función, en el intervalo [0,6]. // Verify the conditions of Rolle's Theorem for the following function, in the interval [0,6].

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Cuya gráfica, vista en el post anterior, es la siguiente: // Whose graph, seen in the previous post, is as follows:

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El cual nos dice que si F es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el abierto (a, b) tal que F(a)=F(b)=0 entonces debe existir al menos un c en (a, b) tal que F’(c)=0

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Which tells us that if F is a continuous function on a closed interval [a, b] and differentiable in the open (a, b) such that F(a)=F(b)=0 then there must exist at least one c in (a, b) such that F'(c)=0.

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Por lo tanto, si queremos verificar las condiciones de este Teorema en el ejercicio anterior, debemos identificar los números a y b, de tal forma que la función F sea continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), y además que F(a)=F(b)=0.

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Therefore, if we want to verify the conditions of this Theorem in the previous exercise, we must identify the numbers a and b, such that the function F is continuous in the interval [a, b] and differentiable in (a, b), and also that F(a)=F(b)=0.

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Veamos

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Observando la gráfica se determina, primero, que tales números son: a=0 y b=6, y segundo, que F es continua en el intervalo [0,6] y diferenciable en (0,6) y además, que F(0)=F(6)=0; por lo tanto, se garantiza la existencia de c en el intervalo (0,6) tal que F'(c)=0.

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Let us see

Observing the graph we determine, first, that such numbers are: a=0 and b=6, and second, that F is continuous in the interval [0,6] and differentiable in (0,6) and further, that F(0)=F(6)=0; therefore, the existence of c in the interval (0,6) such that F'(c)=0 is guaranteed.

Es decir: // That is to say:

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Obviamente c=3 // Obviously c=3

Este resultado puede ser visualizado, fácilmente, en la gráfica.// This result can be easily visualized in the graph.

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Ahora vamos a responder a una pregunta que realizo @stem-shturm en los comentarios. // Now let's answer a question posed by @stem-shturm in the comments.

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La pregunta es la siguiente:

¿Puede encontrar un ejemplo de aplicación práctica de este teorema?

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The question is the following:

Can you find an example of practical application of this theorem?

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Comenzamos agradeciendo a @stem-shturm por su pregunta. // We begin by thanking @stem-shturm for his question.

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Responderemos a continuación. // We will answer below.

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Aplicación práctica del Teorema de Rolle.// Practical application of Rolle's Theorem.

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Para desarrollar esta parte, vamos a introducirnos en un concepto muy importante en el mundo de la Economía, se trata de la Elasticidad de la Demanda.

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To develop this part, we are going to introduce ourselves to a very important concept in the world of Economics, it is the Elasticity of Demand.

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En Economía, la Demanda es una Función que relaciona la cantidad x de cierta mercancía demandada por los consumidores a un precio de venta p. Esta función es decreciente, ya que a medida que aumenta el precio disminuye la cantidad x demandada. Es por ello que, resulta de vital importancia determinar en que punto la sensibilidad de cambio en el precio p determina cambios importantes, a favor o en contra de los comerciantes, en la cantidad x demandada, esta sensibilidad es lo que llamamos Elasticidad de la Demanda.

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In Economics, Demand is a Function that relates the quantity x of a certain good demanded by consumers to a selling price p. This function is decreasing, since as the price increases the quantity x demanded decreases. That is why, it is of vital importance to determine at what point the sensitivity of change in price p determines important changes, in favor or against traders, in the quantity x demanded, this sensitivity is what we call Elasticity of Demand.

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Obviamente, la función ingreso R(x) está directamente afectada por la Elasticidad de la demanda, ya que el ingreso describe la relación precio p por cantidad demandada x

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Esto es: R(x)= p.x

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Obviously, the revenue function R(x) is directly affected by the Elasticity of Demand, since revenue describes the relationship price p per quantity demanded x

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That is: R(x)= p.x

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Por lo tanto, se dice que la Demanda es:

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Inelástica, si al aumentar el precio el ingreso es creciente.
Unitaria, si un aumento en el precio no afecta al ingreso.
Elástica, si al aumentar el precio el ingreso decrece.

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Therefore, Demand is said to be:

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Inelastic, if as price increases income is increasing.
Unitary, if an increase in price does not affect income.
Elastic, if by increasing the price the income decreases.

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Consideremos el siguiente ejemplo. // Consider the following example.

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Dada la función Demanda: // Given the function Demand

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Determine los intervalos donde la demanda es elástica, unitaria e inelástica. // Determine the intervals where demand is elastic, unitary and inelastic.

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Para resolver este problema, vamos a utilizar el Teorema de Rolle. // To solve this problem, we are going to use Rolle's Theorem.

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Comencemos determinando los valores de x para los cuales el ingreso es igual a 0. //Let us begin by determining the values of x for which income is equal to 0.

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La función ingreso es: // The income function is:

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Igualando a 0 el ingreso, obtenemos el resultado deseado.//Equalizing the income to 0, we obtain the desired result.

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Pero, estas funciones en la economía siempre se ubican en el primer cuadrante, por ello vamos a desechar el valor p=-5, y en consecuencia, los valores donde el ingreso se anula son: 0 y 5

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But, these functions in the economy are always located in the first quadrant, so we are going to discard the value p=-5, and consequently, the values where the income cancels out are: 0 and 5.

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De esta manera tenemos que:///In this way we have that R(0)=R(5)=0

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Para verificar las condiciones del Teorema de Rolle debemos asegurarnos que el ingreso R(x) sea continua en el intervalo (0,5) y diferenciable en [0,5], lo cual se ve claramente en la gráfica siguiente:
(dejamos de ejercicio la verificación de estas condiciones al lector.

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To verify the conditions of Rolle's Theorem we must make sure that the input R(x) is continuous in the interval (0,5) and differentiable in [0,5], which is clearly seen in the graph below:

(we leave the verification of these conditions as an exercise to the reader.

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Con la ayuda de la calculadora gráfica Desmos, aquí tenemos la gráfica de la Función Ingreso R(x). // With the help of the Desmos graphing calculator, here is the graph of the Income Function R(x):

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Ahora, corresponde buscar el valor de c en (0,5) tal que: R´(c)=0 // Now, it is necessary to find the value of c in (0,5) such that : R´(c)=0

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Desarrollemos la derivada de: // Let us develop the derivative of:

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Para que R´(c)=0 debe cumplirse que: // For R'(c)=0 it must be satisfied that:

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Tomamos en consideración solo el valor positivo c=3.536, donde, de acuerdo al Teorema de Rolle, la gráfica de esta función tiene una tangente horizontal.

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We take into consideration only the positive value c=3.536, where, according to Rolle's Theorem, the graph of this function has a horizontal tangent.

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Ahora corresponde, en un cuadro, analizar el signo de la primera derivada de la función ingreso en los intervalos (0, 3.536) y (3.536, 5). (Esto se deja al lector).

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Now it corresponds, in a table, to analyze the sign of the first derivative of the input function in the intervals (0, 3.536) and (3.536, 5). (This is left to the reader).

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Luego de analizar el cuadro se concluirá que la función ingreso R(x) es:

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Creciente en el intervalo (0, 3.536) por lo tanto, la demanda en este intervalo es inelástica.

En p=3.536 la elasticidad es unitaria.

En (3.536, 5) es decreciente, en consecuencia, la Demanda es elástica.

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After analyzing the table it will be concluded that the revenue function R(x) is:

Increasing in the interval (0, 3.536) therefore, the demand in this interval is inelastic.

At p=3.536 the elasticity is unitary.

At (3.536, 5) it is decreasing, therefore, Demand is elastic.

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Bueno, amigos de Hive, hasta aquí hemos desarrollado el ejemplo solicitado, espero que haya sido de su satisfacción, cualquier otra pregunta de su parte será respondida con mucho gusto.

Well, friends of Hive, so far we have developed the requested example, I hope it has been to your satisfaction, any other questions on your part will be answered with pleasure.

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Créditos

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El post es totalmente original de la autora.
Algunos conceptos se desarrollaron con el apoyo del Texto cuyo autor es Jorge Sáenz, ''Cálculo Diferencial para Administración y Economía''. Segunda Edición. Editorial Hipotenusa.
Para las gráficas nos apoyamos en la Calculadora Gráfica Desmos.

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Credits

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The post is totally original by the author.
Some concepts were developed with the support of the Text whose author is Jorge Sáenz, ''Cálculo Diferencial para Administración y Economía''. Second Edition. Editorial Hipotenusa.
For the graphs we used the Desmos Graphing Calculator.

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