Aplicación del criterio de la primera derivada/ Crecimiento y decrecimiento de una función//Application of the criterion of the first derivative/ Growth and decay of a function.

Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función en el intervalo [1,9], hacer un bosquejo de la misma. // Find the intervals of increase and decrease of the following function in the interval [1,9], make a sketch of it.

---

---

Solución// Solution

Para resolver este problema, vamos a desarrollar la derivada de F: // To solve this problem, we are going to develop the derivative of F:

---

Esto es: // This is:

---

---

Y luego, conseguir los valores de x donde la derivada se hace 0, es decir, donde la recta tangente al gráfico de F , es horizontal. // And then, get the values ​​of x where the derivative becomes 0, that is, where the tangent line to the graph of F is horizontal.

---

Esto se hace igualando la derivada a 0, es decir: F´(x)=0 // This is done by equating the derivative to 0, that is: F´(x)=0

---

Es decir: // That is to say:

---

---

Factorizando nos queda: (x-2)(x-6)=0 // Factoring we get: (x-2)(x-6)=0

---

Como nos piden determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento en el intervalo [1,9], y los números obtenidos x=2 y x=6 están en el interior de ese intervalo, entonces podemos hacer la siguiente identificación de posibles intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función F.

---

Since we are asked to determine the intervals of increase and decrease in the interval [1,9], and the obtained numbers x=2 and x=6 are inside that interval, then we can make the following identification of possible intervals of increase and decrease for the function F.

---

---

Vamos a elaborar una tabla donde tomaremos un valor para x dentro de cada intervalo identificado en la parte anterior, evaluaremos el signo de la primera derivada de F para cada uno de estos valores, y estos resultados nos indicaran en cuales de ellos, la función F es creciente o decreciente.

---

We are going to elaborate a table where we will take a value for x within each interval identified in the previous part, we will evaluate the sign of the first derivative of F for each one of these values, and these results will indicate us in which of them, the function F is increasing or decreasing.

---

Comencemos // let's start

---

---

Entonces: // So:

---

La función F es: // The function F is:

---

Creciente en los intervalos [1,2] y [6,9] // Increasing in the intervals [1,2] and [6,9]

---

Decreciente en el intervalo [2,6] // Decreasing in the interval [2,6]

---

Bosquejemos el gráfico de F // Let's sketch the graph of F

---

Busquemos los puntos donde la tangente es horizontal al gráfico de F, esto es: // Let's look for the points where the tangent is horizontal to the graph of F, that is:
(2, F(2)) y (6, F(6))

---

Veamos // Let's see

---

---

---

Los puntos donde la tangente es horizontal al gráfico de F, son: // The points where the tangent is horizontal to the graph of F are:

---

Busquemos los valores de F en los que x=1 y x=9 // Let's find the values ​​of F where x=1 and x=9

---

Esto es: // This is:

---

Estos son los puntos // These are the points

---

He aquí el bosquejo de F // Here is the sketch of F

---

---

Observación // Observation

---

En el desarrollo del ejercicio utilizamos un procedimiento en el cual igualamos la primera derivada a 0, esto motiva a la siguiente definición. // In the development of the exercise we use a procedure in which we equal the first derivative to 0, this motivates the following definition.

---

Números Críticos // Critical numbers

---

Los números críticos de una función F son aquellos números en el dominio de F tales que F´(x) = 0 o F´(x) no existe. // The critical numbers of a function F are those numbers in the domain of F such that F´(x)=0 or F´(x) does not exist.

---

Ejemplos: // Examples:

---

1.-En el ejemplo que venimos desarrollando, los números críticos de F son: 2 y 6. // In the example we have been developing, the critical numbers of F are: 2 and 6.

---

2.-Si tenemos por ejemplo a: // If we have for example

---

Entonces su derivada es: // So its derivative is:

---

---

La cual no existe para x=0, por lo tanto 0 es un número crítico para esta función. ¿Por qué no existe la derivada de esta función en x=0? // Which does not exist for x=0, therefore 0 is a critical number for this function. Why doesn't the derivative of this function exist at x=0?

---

Ejercicio para el lector // Exercise for the reader

---

Hallar los números críticos para la siguiente función: // Find the critical numbers for the following function:

---

---

Créditos// credits

---

El post es totalmente original de la autora, el bosquejo de la gráfica de la función se hizo con la ayuda de Paint. /// The post is completely original by the author, the sketch of the graph of the function was made with the help of Paint.

Posted with STEMGeeks