Una historia imaginaria pero real, aunque parezca absurda - 1era Parte

about 3 years ago (Edited)

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En 1878, un par de hermanos, los que pronto se convertirían en famosos delincuentes, Ahmed y Aohammed Abd er-Rassul, se tropezaron con las antiguas sepulturas egipcias del Valle de los Reyes, en Deir el-Bahri. Rápidamente tuvieron un próspero negocio de venta de reliquias robadas, una de las cuales era un papiro matemático; uno de los hermanos lo vendió al etnólogo ruso Golenishchev en 1893, quien a su vez lo donó al Museo de Bellas Artes de Moscú en 1912.

Allí permaneció, un gran secreto escondido hasta su completa traducción en 1930, momento en el que el mundo académico se enteró de lo avanzados que habían sido los antiguos egipcios desde el punto de vista matemático.

En concreto, el decimocuarto problema del Papiro Matemático de Moscú (PMM), como se denomina ahora, es un ejemplo numérico específico de cómo calcular el volumen V de una pirámide cuadrada truncada, la así llamada frustum de una pirámide. Este ejemplo sugiere claramente que los antiguos egipcios conocían la fórmula siguiente:

donde a y b son las longitudes de los lados de los cuadrados inferior y superior, respectivamente, y h es la altura de la piramide, como lo podemos apreciar en la siguiente figura.

_{Pirámide Truncada, vista lateral y vista aérea. Elaborada con Inkscape por @abdulmath.}

Un historiador de la ciencia ha calificado este hallazgo como impresionante y la obra maestra de la geometría egipcia. La derivación de esta fórmula es un ejercicio rutinario para cualquiera que haya cursado el primer año de cálculo, pero es mucho menos obvio cómo los egipcios pudieron descubrirla sin tener conocimientos de cálculo integral.

Aunque es correcto, este resultado tiene un ligero defecto de apreciación. Los valores de a y b son lo que un ingeniero o físico moderno llamaría un observable, es decir, son longitudes que pueden determinarse directamente simplemente colocando una cinta métrica a lo largo de los bordes inferior y superior de la base de la pirámide. Sin embargo, el valor de h, no es directamente medible, o ciertamente no lo es para una pirámide sólida.

_{Herón de Alehandría, imagen de dominio público Wikimedia}

Se puede calcular para cualquier pirámide dada, por supuesto, utilizando conocimientos de geometría y trigonometría, pero cuánto más directo sería expresar el volumen del frustum en términos no de h, sino de c, la longitud del borde inclinado.

Esa longitud es directamente medible. Esto se hizo finalmente pero, por lo que se sabe hoy en día, no hasta el siglo I d.C. por el gran ingeniero-matemático Herón de Alejandría, al que se suele llamar griego pero que en realidad puede haber sido egipcio.

De hecho, es un problema elemental de geometría demostrar que

_{Imagen Nada Habashy en Unsplash y editada por @abdulmath con Inkscape, los emoji son creados con Bitmoji}

Sin continuamos en la línea del tiempo , en 1897, el matemático W. W. Bemana¹ da una muy interesante charla en una reunión de la Asociación Americana para el Avance de la Ciencia donde en ese discurso cita lo siguiente:

Encontramos la raíz cuadrada de una cantidad negativa que aparece por primera vez en la estereometría de Herón de Alejandría . . . después de haber dado una fórmula correcta para la determinación del volumen de un frustum de una pirámide con base cuadrada y de haberla aplicado con éxito al caso en el que el lado de la base inferior es 10, el de la superior 2, y la arista 9, el autor se esfuerza por resolver el problema en el que el lado de la base inferior es 28, el de la superior 4, y la arista 15. En lugar de la raíz cuadrada de 81-144 que exige la fórmula, toma la raíz cuadrada de 144-81, es decir, sustituye la raíz caudrada de -1 por 1, y no observa que el problema tal y como está planteado es imposible. No se puede determinar si este error se debe a Herón o a la ignorancia de algún redactor.

Es decir, utilizando a = 28, b = 4 y c = 15 en su fórmula para h, Herón escribió:

El siguiente y magnífico paso habría sido, por supuesto, escribir h como la raíz cuadrada de -63, pero la Stereometria lo registra como raíz cuadrada de >b>63, por lo que Herón se perdió de ser el primer erudito conocido en haber derivado la raíz cuadrada de un número negativo en un análisis matemático de un problema físico.

Si Herón realmente falsificó su aritmética, lo pagó muy caro con la pérdida de su fama. Pasarían mil años más antes de que un matemático se molestara en tomar nota de algo así y luego simplemente lo descartara como una tontería obvia y, sin embargo, quinientos años más antes de que la raíz cuadrada de un número negativo se tomara en serio, pero siguiera considerándose un misterio.

_{Imagen de Pixabay y editada por @abdulmath con GIMP, el emoji es creado con Bitmoji.}

Si quedastes fascinado con este apasionante tema de la historia de la matemática, no te pierdas la próxima publicación, si deseas ampliar más te invito a leer las siguientes referencias:

W. W. Beman, A Chapter in the History of Mathematics, Proceedings of the American Association for the Advancement of Science 46 (1897):33–50.
Richard J. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, MIT Press 1972.
E. T. Bell, The Development of Mathematics, McGraw-Hill 1945.